京都大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

高さ $z$ における容器の半径は相似により $Rz\mathrm{/}H$ である。したがって、水面の高さが $h$ のときに残っている水の体積を $W(h)$ とすると$$W(h)={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\left({\displaystyle \frac{Rh}{H}}\right)}^{2}h={\displaystyle \frac{\pi R^2}{3H^2}}{h}^3\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{dW}{dh}}={\displaystyle \frac{\pi R^2}{H^2}}{h}^2\mathrm{.}$$排出量の増加は残量の減少に等しいので$$-{\displaystyle \frac{dW}{dt}}={\displaystyle \frac{dV}{dt}}=\sqrt{h}\mathrm{.}$$連鎖律を用いると$$-{\displaystyle \frac{\pi R^2}{H^2}}{h}^2{\displaystyle \frac{dh}{dt}}=\sqrt{h},$$したがって$$dt=-{\displaystyle \frac{\pi R^2}{H^2}}{h}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}dh\mathrm{.}$$満水時の $h=H$ から空になる $h=0$ までに要する時間を $T$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi R^2}{H^2}}{\int }_0^H{h}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}dh}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi R^2}{H^2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}{H}^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi R^2\sqrt{H}}{5}}\mathrm{.}}\end{array}$$検算

${\displaystyle \frac{dV}{dt}}$ の次元が「体積/時間」，$\sqrt{h}$ の次元が「長さの平方根」になるよう比例定数を1とした条件である。導いた時間 $$T={\displaystyle \frac{2\pi R^2\sqrt{H}}{5}}$$ は $R^2\sqrt{H}$ に比例し，微分方程式の尺度と整合する。また $h$ が減少するため $dh\mathrm{/}dt<0$ となり，符号も正しい。