京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系（乙）数学 第6問

地球の半径を $R$ とする。緯度 ${60}^{\circ }$ の緯線は半径$$R\cos {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{R}{2}}$$の円である。$A,B$ の経度差は ${60}^{\circ }$ だから、経路 $R_1$ の長さを $L_1$ とすると$$L_1={\displaystyle \frac{R}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi R}{6}}$$である。

次に、地球の中心を $O$ とし、$\mathrm{\angle }AOB=\theta$ とする。緯度を $\phi$、経度を $\lambda$ とすると、地球の中心からその地点へ向かう単位ベクトルは$$(\cos \phi \cos \lambda ,\cos \phi \sin \lambda ,\sin \phi )$$と表せる。したがって2点の緯度がとも ${60}^{\circ }$、経度差が ${60}^{\circ }$ であることから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos \theta }& {\displaystyle ={\sin }^2{60}^{\circ }+{\cos }^2{60}^{\circ }\cos {60}^{\circ }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{8}}=0.8750}\end{array}$$である。

三角関数表によれば$$\cos {29}^{\circ }=0.8746<0.8750=\cos \theta$$である。$0^{\circ }$ から ${180}^{\circ }$ まで余弦は単調に減少するので$$\theta <{29}^{\circ }$$を得る。短い方の大円経路の長さは $L_2=R\theta$ であり、$L_1$ は中心角 ${30}^{\circ }$ に相当する長さだから$${\displaystyle \frac{L_2}{L_1}}<{\displaystyle \frac{29}{30}}=0.9666\dots <\mathrm{0.97.}$$よって$$L_2<0.97L_1$$であり、$R_2$ は $R_1$ より3％以上短い。

緯線は半径 $R\mathrm{/}2$ の小円、大円経路は球の中心を通る平面上にある。