京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験（文系・数学理系甲共通）文系数学 第3問

並びを $a,b,c,d,e$ と表す。すべての並べ方は $5!=120$ 通りであり，これらは同様に確からしい。

条件は $a+b+c=c+d+e$ である。中央の $c$ は両辺に共通しているので，これは $a+b=d+e$ と同値である。

そこで中央の数 $c$ を固定する。残り4個の数の和は $1+2+3+4+5-c=15-c$ である。これを2組に分け，それぞれの和が等しくなるためには，$15-c$ が偶数でなければならない。したがって $c$ は奇数であり，$c=1,3,5$ の場合だけを考えればよい。

それぞれの場合を確認する。 $c=1$ のとき，残りは $2,3,4,5$ で，和は $14$ である。各組の和は $7$ でなければならないので，組分けは $\{2,5\},\{3,4\}$ である。 $c=3$ のとき，残りは $1,2,4,5$ で，和は $12$ である。各組の和は $6$ であり，組分けは $\{1,5\},\{2,4\}$ である。 $c=5$ のとき，残りは $1,2,3,4$ で，和は $10$ である。各組の和は $5$ であり，組分けは $\{1,4\},\{2,3\}$ である。

各 $c$ について，2つの組のうちどちらを $a,b$ 側に置くかが $2$ 通りある。また，$a,b$ の順序が $2$ 通り，$d,e$ の順序も $2$ 通りある。したがって条件を満たす並べ方は $3\cdot 2\cdot 2\cdot 2=24$ 通りである。

よって求める確率は $${\displaystyle \frac{24}{120}=\frac{1}{5}}$$ である。

2個の異なる数の組を和ごとに分類し、同じ和をもち、かつ互いに素な2組だけを拾う。残る数が中央に決まり、左右への割り当てと各組内の順序を数える。

等しい和をもつ2組を表にする。
2個の異なる数の組を、和ごとに並べると$$\begin{array}{cc}\text{和}& \text{組}\\ 3& \{1,2\}\\ 4& \{1,3\}\\ 5& \{1,4\},\{2,3\}\\ 6& \{1,5\},\{2,4\}\\ 7& \{2,5\},\{3,4\}\\ 8& \{3,5\}\\ 9& \{4,5\}\end{array}$$となる。

並びを $a,b,c,d,e$ とすると、求める条件は$$a+b=d+e$$である。さらに左の組と右の組は互いに素でなければならない。表で同じ和を
もつ2組があり、しかも4数が重複しないのは$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle }& {\displaystyle \{1,4\},\{2,3\}}& {\displaystyle }& {\displaystyle (\text{残り }c=5),}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \{1,5\},\{2,4\}}& {\displaystyle }& {\displaystyle (\text{残り }c=3),}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \{2,5\},\{3,4\}}& {\displaystyle }& {\displaystyle (\text{残り }c=1)}\end{array}$$の3場合だけである。

各場合について、2組の左右への割り当てが2通り、左の組内の順序が2通り、
右の組内の順序も2通りある。したがって条件を満たす並びは$$3\cdot 2\cdot 2\cdot 2=24$$通りである。全 $5!=120$ 通りは同様に確からしいから、確率は$$\frac{24}{120}=\frac{1}{5}$$である。