京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$$F(x)=\cos x+\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$$とおく。$F$ は偶関数なので、$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ だけを調べればよい。$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}x,F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ で $\cos x$ は減少するから、$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ は増加する。また$$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0⟺\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}⟺x=\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$したがって $F^{\mathrm{\prime }}$ は$$\begin{array}{cccc}& [0,\frac{\pi }{6}]\text{で減少し、}[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]\text{で増加する。}& & \text{(1)}\end{array}$$$$F^{\mathrm{\prime }}(0)=0$$なので、$0<x\leqq \pi \mathrm{/}6$ では $F^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。一方、$$F^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{\pi }{2}\right)=-1+\frac{\sqrt{3}\pi }{4}\mathrm{.}$$与えられた評価から$$\frac{\sqrt{3}\pi }{4}>\frac{1.7\cdot 3.1}{4}>1$$であるため$$F^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{\pi }{2}\right)>0.$$(1)より、$F^{\mathrm{\prime }}$ は $\pi \mathrm{/}6$ より後でただ1度だけ0となる。よって $F$ はいったん減少し、その後増加するので、最大値は端点 $0,\pi \mathrm{/}2$ のいずれかで取る。

端点の値は$$F(0)=1,F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}{\pi }^2}{16}\mathrm{.}$$さらに$$\frac{\sqrt{3}{\pi }^2}{16}>\frac{1.7\cdot (3.1{)}^2}{16}>1.$$したがって求める最大値は$$\frac{\sqrt{3}{\pi }^2}{16}$$であり、$x=\pm \pi \mathrm{/}2$ のときに取る。