京都大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
まず $0<a\leqq 1$ とする。このとき$$1\leqq 1+a^n\leqq 2$$だから$$1\leqq (1+a^n{)}^{1\mathrm{/}n}\leqq 2^{1\mathrm{/}n}\mathrm{.}$$$2^{1\mathrm{/}n}\to 1$ より、はさみうちによって極限は1である。

次に $a>1$ とする。このとき$$(1+a^n{)}^{1\mathrm{/}n}=a{(1+\frac{1}{a^n})}^{1\mathrm{/}n}\mathrm{.}$$また$$1\leqq {(1+\frac{1}{a^n})}^{1\mathrm{/}n}\leqq 2^{1\mathrm{/}n}$$であり、両端が1に収束する。したがって極限は $a$ である。

以上より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+a^n{)}^{1\mathrm{/}n}=\{\begin{array}{ll}1& (0<a\leqq 1),\\ a& (a>1)\end{array}$$となる。

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(2)
求める積分を$$I={\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{x^2}\log \sqrt{1+x^2}dx$$とおく。部分積分で$$u=\log \sqrt{1+x^2},dv=\frac{dx}{x^2}$$とすれば$$du=\frac{x}{1+x^2}dx,v=-\frac{1}{x}$$だから$$I={[-\frac{1}{x}\log \sqrt{1+x^2}]}_1^{\sqrt{3}}+{\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{dx}{1+x^2}\mathrm{.}$$後半の積分では $x=\tan t$ とおく。端点は
$t=\pi \mathrm{/}4,\pi \mathrm{/}3$ に対応し、$${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{dx}{1+x^2}={\int }_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}3}dt=\frac{\pi }{12}\mathrm{.}$$また境界項は$$-\frac{1}{\sqrt{3}}\log 2+\frac{1}{2}\log 2$$である。したがって$$I=(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3})\log 2+\frac{\pi }{12}\mathrm{.}$$

(1) は正の数列の対数をとり、$a<1,a=1,a>1$ に分けて指数部の極限を求める。(2)は最初に $x=\tan t$ と置いて積分を $\log (\sec t){\csc }^{2}t$ に変え、部分積分する。元の変数で部分積分する主解法とは計算の見通しが異なる。

(1) $$L_n=(1+a^n{)}^{1\mathrm{/}n}$$とおく。$0<a<1$ のとき$$0\leqq \log L_n=\frac{1}{n}\log (1+a^n)\leqq \frac{\log 2}{n}\to 0$$であるから $L_n\to 1$ である。$a=1$ のときも
$L_n=2^{1\mathrm{/}n}\to 1$ である。

$a>1$ のときは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \log L_n}& {\displaystyle =\frac{1}{n}\log \{a^n(1+a^{-n})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log a+\frac{1}{n}\log (1+a^{-n})\mathrm{.}}\end{array}$$第2項は$$0\leqq \frac{1}{n}\log (1+a^{-n})\leqq \frac{\log 2}{n}\to 0$$なので $\log L_n\to \log a$、したがって $L_n\to a$ である。ゆえに$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+a^n{)}^{1\mathrm{/}n}=\{\begin{array}{ll}1& (0<a\leqq 1),\\ a& (a>1)\end{array}$$となる。

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(2)$$x=\tan t$$とおくと、$x=1,\sqrt{3}$ は $t=\pi \mathrm{/}4,\pi \mathrm{/}3$ に対応する。また$$\frac{dx}{x^2}=\frac{{\sec }^{2}t}{{\tan }^{2}t}dt={\csc }^{2}tdt,\log \sqrt{1+x^2}=\log (\sec t)\mathrm{.}$$よって$$I={\int }_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}3}\log (\sec t){\csc }^{2}tdt\mathrm{.}$$ここで$$u=\log (\sec t),dv={\csc }^{2}tdt$$とすると$$du=\tan tdt,v=-\cot t\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={[-\cot t\log (\sec t)]}_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}3}+{\int }_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}3}\cot t\tan tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{3}}\log 2+\frac{1}{2}\log 2+{\left[t\right]}_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3})\log 2+\frac{\pi }{12}\mathrm{.}}\end{array}$$