京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

接点の $x$ 座標を $a$ とする。曲線 $C:y=x^3-x$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-1$ であるから、$x=a$ における接線は $y=(3a^2-1)(x-a)+a^3-a$ である。整理すると $y=(3a^2-1)x-2a^3$ となる。この直線が $P(1,t)$ を通る条件は $$t=(3a^2-1)-2a^3=-2a^3+3a^2-1$$ である。 $g(a)=-2a^3+3a^2-1$ とおくと $g^{\mathrm{\prime }}(a)=-6a(a-1)$ である。したがって $g(a)$ は $a<0$ で減少、$0<a<1$ で増加、$a>1$ で減少し、$g(0)=-1,g(1)=0$ である。よって方程式 $g(a)=t$ の実数解がちょうど1つとなるのは、水平線 $y=t$ が極小値より下、または極大値より上にあるときである。

したがって $$t<-1\text{または}t>0$$ である。なお $t=-1,0$ では重解を含むが、異なる接線は2本存在するので含めない。

(2)

次に面積を求める。接点 $a$ における接線と曲線の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x^3-x)-\{(3a^2-1)x-2a^3\}}& {\displaystyle =x^3-3a^{2}x+2a^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-a{)}^2(x+2a)}\end{array}$$である。したがって接線と曲線の交点の $x$ 座標は $x=a$ と $x=-2a$ である。囲まれた部分の面積は、符号を考えて絶対値をつければ $$S=\mid {\int }_{-2a}^a(x-a{)}^2(x+2a)dx\mid$$である。積分を実行すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int (x-a{)}^2(x+2a)dx}& {\displaystyle =\int (x^3-3a^{2}x+2a^3)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{x^4}{4}-\frac{3a^2{x}^2}{2}+2a^{3}x}\end{array}$$であるから $${\int }_{-2a}^a(x-a{)}^2(x+2a)dx=\frac{27}{4}{a}^4$$となる。よって $$S=\frac{27}{4}{a}^4$$ である。

(1) の範囲に対応する $a$ の範囲を確認する。$t>0$ のときは $g(a)=t$ の唯一の解が $a<-\frac{1}{2}$ にある。実際、$g(-\frac{1}{2})=0$ であり、$a<0$ では $g$ は減少するからである。また $t<-1$ のときは唯一の解が $a>\frac{3}{2}$ にある。実際、$g(\frac{3}{2})=-1$ であり、$a>1$ では $g$ は減少する。

したがって、(1) の範囲で得られる $a$ は $$a<-\frac{1}{2}\text{または}a>\frac{3}{2}$$ である。このうち $a<-\frac{1}{2}$ の側だけで $a^4$ は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$ より大きい任意の値をとり、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ はいくらでも大きくできる。よって $$S=\frac{27}{4}{a}^4>\frac{27}{4}\cdot \frac{1}{16}=\frac{27}{64}$$ であり、逆に任意の $$S>\frac{27}{64}$$ は $a<-\frac{1}{2}$ を適当に取ることで実現できる。したがって $$S(t)\text{ の取りうる値の範囲は }\frac{27}{64}<S(t)$$ である。