京都大学 2017年度
理系数学 第5問

解答

解法1

曲線と直線はともに原点を通る。また$x=\sqrt{2}$で閉じられるので，面積は $S(a)={\int }_0^{\sqrt{2}}x|e^{-x}-a|dx$ と表せる。

まず最小となる$a$の位置を考える。$a\geqq 1$なら$0<x\leqq \sqrt{2}$で$a\geqq e^{-x}$となり，$a$を小さくすると面積は小さくなる。したがって最小は$a\geqq 1$では起こらない。また$0\leqq a\leqq e^{-\sqrt{2}}$なら$e^{-x}\geqq a$が区間全体で成り立ち，$a$を大きくすると面積は小さくなる。したがって最小は $e^{-\sqrt{2}}<a<1$ で起こる。

この範囲では，交点を $c=-\log a$ とおくと $0<c<\sqrt{2},a=e^{-c}$ である。$0\leqq x<c$では$e^{-x}>a$，$c<x\leqq \sqrt{2}$では$e^{-x}<a$だから $S(a)={\int }_0^{c}x(e^{-x}-a)dx+{\int }_c^{\sqrt{2}}x(a-e^{-x})dx$ である。 $a$で微分すると，交点での境界項は差が0なので消え，$S^{\prime }(a)=-{\int }_0^{c}xdx+{\int }_c^{\sqrt{2}}xdx$ である。最小となるときは$S^{\prime }(a)=0$であるから ${\int }_0^{c}xdx={\int }_c^{\sqrt{2}}xdx$ である。したがって $\frac{c^2}{2}=\frac{2-c^2}{2}$ より $c=1$ である。よって $a=e^{-1}$ で最小となる。

このとき

である。部分積分により $\int x{e}^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}$ だから ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx=1-\frac{2}{e}$ であり，${\int }_1^{\sqrt{2}}x{e}^{-x}dx=\frac{2}{e}-(1+\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}}$ である。したがって

となり，整理して $S_{\min }=1-\frac{4}{e}+(1+\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}}$ である。

解法2

面積は

である。各 $x$ に対して $|e^{-x}-a|$ は $a$ の凸関数なので、$S(a)$ も凸関数である。したがって、微分係数が0となる点があれば、それが大域的な最小点である。

$e^{-\sqrt{2}}<a<1$ とし、

とおく。$e^{-x}>a$ は $x<c$、$e^{-x}<a$ は $x>c$ と同値である。よって

したがって $S^{\prime }(a)=0$ は $c=1$、すなわち

凸性より、ここで最小となる。

最小値は

を用いて計算すると