京都大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

まず、直線 $y=px+q$ が放物線 $y=x^2-x$ と交わる条件を求める。交点の $x$ 座標は $x^2-x=px+q$ すなわち $x^2-(p+1)x-q=0$ の実数解である。したがって判別式が0以上であればよいので $(p+1{)}^2+4q\geqq 0$ である。すなわち $$q\geqq -\frac{(p+1{)}^2}{4}$$ である。

次に折れ線を調べる。$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+1=\{\begin{array}{ll}2-2x& (x<0),\\ 2& (0\leqq x\leqq 1),\\ 2x& (x>1)\end{array}$$である。このグラフは下に凸な折れ線である。直線がこの折れ線と交わらないためには、直線が折れ線の全体で下側にある必要がある。上側にある点があれば、左右の端で折れ線との差が負になるか、または端の直線部分と交わるため、どこかで交点をもつからである。

$x<0$ の部分では、差 $$(px+q)-(2-2x)=(p+2)x+q-2$$ が常に負である必要がある。これが可能であるためには $p\geqq -2$ であり、さらに $x\to 0-0$ で交わらないため $q<2$ が必要である。

$0\leqq x\leqq 1$ では、折れ線は $y=2$ である。直線が下側にある条件は $$px+q<2(0\leqq x\leqq 1)$$ である。これは端点で調べればよく、$q<2,p+q<2$ である。

$x>1$ の部分では、差 $(px+q)-2x=(p-2)x+q$ が常に負である必要がある。これが可能であるためには $p\leqq 2$ であり、さらに $x\to 1+0$ を考えて $p+q<2$ が必要である。

よって折れ線と交わらない条件は $$-2\leqq p\leqq 2,q<2,p+q<2$$ である。放物線と交わる条件と合わせると、求める領域は $$q\geqq -\frac{(p+1{)}^2}{4},q<\min (2,2-p),-2\leqq p\leqq 2$$ である。

したがって $p<0$ と $p\geqq 0$ に分けると、領域は $$-2\leqq p<0,-\frac{(p+1{)}^2}{4}\leqq q<2$$ および $$0\leqq p\leqq 2,-\frac{(p+1{)}^2}{4}\leqq q<2-p$$ である。境界の一部が開いているかどうかは面積に影響しない。

面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=}& {\displaystyle {\int }_{-2}^0\{2+\frac{(p+1{)}^2}{4}\}dp+{\int }_0^2\{2-p+\frac{(p+1{)}^2}{4}\}dp}\end{array}$$である。前半は $u=p+1$ とおくと$${\int }_{-2}^0\{2+\frac{(p+1{)}^2}{4}\}dp=4+\frac{1}{4}{\int }_{-1}^1{u}^{2}du=4+\frac{1}{6}=\frac{25}{6}$$である。後半は $$2-p+\frac{(p+1{)}^2}{4}=\frac{9}{4}-\frac{p}{2}+\frac{p^2}{4}$$ なので$${\int }_0^2(\frac{9}{4}-\frac{p}{2}+\frac{p^2}{4})dp=\frac{9}{2}-1+\frac{2}{3}=\frac{25}{6}$$である。よって $$S=\frac{25}{6}+\frac{25}{6}=\frac{25}{3}$$ である。

求めた領域を図示すると次のようになる。下側の放物線と左右の縦境界は含み、上側の破線は含まない。