京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

接点の$x$座標を$t$とする。曲線 $y=x^3-4x+1$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-4$ であるから，接点における接線の傾きは$3t^2-4$である。接線は $$y=t^3-4t+1+(3t^2-4)(x-t)$$ であり，これが点$P(3,0)$を通るので $$0=t^3-4t+1+(3t^2-4)(3-t)$$ である。整理すると $-2t^3+9t^2-11=0$ すなわち $(t+1)(2t^2-11t+11)=0$ である。

候補は $$t=-1,t=\frac{11\pm \sqrt{33}}{4}$$ である。接線の傾きは$3t^2-4$であり，負になるのは $t=-1$ のときだけである。実際，$t=-1$では傾きは$-1$である。

したがって接線は，接点$(-1,4)$を通り傾き$-1$の直線 $y=-x+3$ である。曲線と接線の差を計算すると $$(x^3-4x+1)-(-x+3)=x^3-3x-2=(x-2)(x+1{)}^2$$ である。よって交点は$x=-1$と$x=2$で，$x=-1$は接点なので重解になっている。 $-1<x<2$では$(x-2)(x+1{)}^2<0$であるから，接線の方が曲線より上にある。したがって求める面積は $$S={\int }_{-1}^2\{(-x+3)-(x^3-4x+1)\}dx$$ である。被積分関数は $-x^3+3x+2$ なので $$S={[-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}+2x]}_{-1}^2$$ である。上端では $$-\frac{2^4}{4}+\frac{3\cdot 2^2}{2}+2\cdot 2=6$$ であり，下端では $$-\frac{(-1{)}^4}{4}+\frac{3(-1{)}^2}{2}+2(-1)=-\frac{3}{4}$$ である。したがって $$S=6-(-\frac{3}{4})=\frac{27}{4}$$ である。

3次関数と接線の差は接点を2重根にもつことを利用する。接点を $t$ とすると差は $(x-t{)}^2(x+2t)$ と一気に因数分解できる。点 $P$ を通り傾きが負となる接線を決定した後、$u=x+1$ と置いて面積積分を短く計算する。

$f(x)=x^3-4x+1$ とする。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線は$$y=f(t)+f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)\mathrm{.}$$これが $(3,0)$ を通る条件は$$f(t)+f^{\mathrm{\prime }}(t)(3-t)=0.$$整理すると$$(t+1)(2t^2-11t+11)=0.$$傾き $f^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-4$ が負になるのは $t=-1$ だけである。したがって接線は$$l:y=-x+3.$$3次関数と接線の差は接点 $x=t$ を2重根にもつ。実際、一般に$$f(x)-\{f(t)+f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)\}=(x-t{)}^2(x+2t)$$である。$t=-1$ を代入すると$$f(x)-l(x)=(x+1{)}^2(x-2)\mathrm{.}$$よってもう1つの交点は $x=2$ であり、$-1<x<2$ では接線が上にある。

したがって$$S={\int }_{-1}^2(2-x)(x+1{)}^{2}dx\mathrm{.}$$$u=x+1$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^3(3-u)u^{2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[u^3-\frac{u^4}{4}]}_0^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =27-\frac{81}{4}=\frac{27}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$