京都大学 2017年度文系数学第5問解答・解説

問題

$n$ を2以上の自然数とする。さいころを $n$ 回振り、出た目の最大値 $M$ と最小値 $L$ の差 $M - L$ を $X$ とする。

(1) $X = 1$ である確率を求めよ。

(2) $X = 5$ である確率を求めよ。

出典：京都大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第5問

方針

解法1

$X = 1$ では，出た目全体が隣り合う2種類 ${k, k + 1}$ に含まれ，しかも両方が少なくとも1回出る必要がある。5通りの隣接ペアごとに，片方だけしか出ない列を除く。 $X = 5$ では最小値1，最大値6がともに出ることと同値なので，1が出ない場合，6が出ない場合を包除原理で除く。

解法2

最小値を $k$ と固定し，使用できる $d + 1$ 種類のうち両端がともに出る列を包除原理で数える。得た一般式へ $d = 1, 5$ を代入する。

解答

解法1

(1)

$X = 1$ となるには，出た目の最小値と最大値が隣り合っていなければならない。したがって，出る目は ${1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}$ のいずれか1つの集合に含まれ，しかもその2種類がどちらも少なくとも1回出る必要がある。

固定した隣接ペア ${k, k + 1}$ について，すべての出目がこの2種類に含まれる確率は $(\frac{2}{6})^{n}$ である。このうち， $k$ だけが出る場合と $k + 1$ だけが出る場合は，それぞれ確率 $(1/6)^{n}$ であり，この2つを除く。したがって固定したペアからの確率は $(\frac{2}{6})^{n} - 2 (\frac{1}{6})^{n}$ である。隣接ペアは5通りで互いに重ならないので

P (X = 1) = 5 {(\frac{2}{6})^{n} - 2 (\frac{1}{6})^{n}} = \frac{5 ( 2 ^{n} - 2 )}{6 ^{n}}

である。

(2)

$X = 5$ となるには，最小値が1で最大値が6であることが必要十分である。これは， $n$ 回のうち1の目と6の目がどちらも少なくとも1回出ることと同値である。

全体から，1が一度も出ない場合と6が一度も出ない場合を除く。ただし，1も6も出ない場合を二重に除いているので戻す。よって包除原理により $P (X = 5) = 1 - 2 (\frac{5}{6})^{n} + (\frac{4}{6})^{n}$ である。

解法2

一般に $X = d$ となる出目列を数える。最小値を $k$ と固定すると、出る目は

k, k + 1, \dots, k + d

の $d + 1$ 種類に限られ、しかも両端 $k$ と $k + d$ がともに少なくとも1回出なければならない。

全 $(d + 1)^{n}$ 列から、下端が出ない $d^{n}$ 列と上端が出ない $d^{n}$ 列を除き、両端とも出ない $(d - 1)^{n}$ 列を戻す。したがって、固定した最小値 $k$ に対する列数は

(d + 1)^{n} - 2 d^{n} + (d - 1)^{n} .

最小値は $k = 1, 2, \dots, 6 - d$ の $6 - d$ 通りなので

P (X = d) = \frac{( 6 - d ) {( d + 1 ) ^{n} - 2 d ^{n} + ( d - 1 ) ^{n} }}{6 ^{n}} .

(1) P (X = 1) (2) P (X = 5) = \frac{5 ( 2 ^{n} - 2 )}{6 ^{n}}, = \frac{6 ^{n} - 2 \cdot 5 ^{n} + 4 ^{n}}{6 ^{n}} = 1 - 2 (\frac{5}{6})^{n} + (\frac{4}{6})^{n} .

京都大学 2017年度文系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

京都大学 2017年度
文系数学第5問