京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

(1) $X=1$となるには，出た目の最小値と最大値が隣り合っていなければならない。したがって，出る目は $\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\},\{5,6\}$ のいずれか1つの集合に含まれ，しかもその2種類がどちらも少なくとも1回出る必要がある。

固定した隣接ペア$\{k,k+1\}$について，すべての出目がこの2種類に含まれる確率は ${\left(\frac{2}{6}\right)}^n$ である。このうち，$k$だけが出る場合と$k+1$だけが出る場合は，それぞれ確率$(1\mathrm{/}6{)}^n$であり，この2つを除く。したがって固定したペアからの確率は ${\left(\frac{2}{6}\right)}^n-2{\left(\frac{1}{6}\right)}^n$ である。隣接ペアは5通りで互いに重ならないので$$P(X=1)=5\{{\left(\frac{2}{6}\right)}^n-2{\left(\frac{1}{6}\right)}^n\}=\frac{5(2^n-2)}{6^n}$$である。

(2) $X=5$となるには，最小値が1で最大値が6であることが必要十分である。これは，$n$回のうち1の目と6の目がどちらも少なくとも1回出ることと同値である。

全体から，1が一度も出ない場合と6が一度も出ない場合を除く。ただし，1も6も出ない場合を二重に除いているので戻す。よって包除原理により $$P(X=5)=1-2{\left(\frac{5}{6}\right)}^n+{\left(\frac{4}{6}\right)}^n$$ である。

最小値を $k$ と固定し，使用できる $d+1$ 種類のうち両端がともに出る列を包除原理で数える。得た一般式へ $d=1,5$ を代入する。

一般に $X=d$ となる出目列を数える。最小値を $k$ と固定すると、出る目は$$k,k+1,\dots ,k+d$$の $d+1$ 種類に限られ、しかも両端 $k$ と $k+d$ がともに少なくとも1回出なければならない。

全 $(d+1{)}^n$ 列から、下端が出ない $d^n$ 列と上端が出ない $d^n$ 列を除き、両端とも出ない $(d-1{)}^n$ 列を戻す。したがって、固定した最小値 $k$ に対する列数は$$(d+1{)}^n-2d^n+(d-1{)}^n\mathrm{.}$$最小値は $k=1,2,\dots ,6-d$ の $6-d$ 通りなので$$P(X=d)=\frac{(6-d)\{(d+1{)}^n-2d^n+(d-1{)}^n\}}{6^n}\mathrm{.}$$$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1)P(X=1)}& {\displaystyle =\frac{5(2^n-2)}{6^n},}\\ {\displaystyle (2)P(X=5)}& {\displaystyle =\frac{6^n-2\cdot 5^n+4^n}{6^n}=1-2{\left(\frac{5}{6}\right)}^n+{\left(\frac{4}{6}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$$