京都大学 2017年度文系数学第4問解答・解説

問題

$p, q$ を自然数、 $α, β$ を

tan α = \frac{1}{p}, tan β = \frac{1}{q}

を満たす実数とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 条件

(A) tan (α + 2 β) = 2

を満たす $p, q$ の組 $(p, q)$ のうち、 $q ≦ 3$ であるものをすべて求めよ。

(2) 条件 $(A)$ を満たす $p, q$ の組 $(p, q)$ で、 $q > 3$ であるものは存在しないことを示せ。

出典：京都大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

解法1

$q = 1$ では $2 β$ が直角方向になり，条件を満たさないので先に除く。 $q > 1$ では $tan 2 β$ を $q$ で表し，加法定理で $tan (α + 2 β) = 2$ を $p, q$ の式に直す。得られた $p = \frac{q ^{2} + 4 q - 1}{2 ( q ^{2} - q - 1 )}$ について，(1)では $q = 2, 3$ を確認し，(2)では $q = 4, 5, 6$ の範囲と $q ≧ 7$ の評価で自然数にならないことを示す。

解法2

加法定理から得られる式を、大小評価ではなく整除条件で絞る。 $q > 1$ では $p = \frac{q ^{2} + 4 q - 1}{2 ( q ^{2} - q - 1 )}$ 。これを $2 p - 1 = \frac{5 q}{q ^{2} - q - 1}$ と変形し、 $g cd (q, q^{2} - q - 1) = 1$ から $q^{2} - q - 1 ∣ 5$ を導く。

解答

解法1

(1)

まず $q = 1$ のとき， $tan β = 1$ であるから， $2 β$ は $π /2$ と同じ向きになる。このとき $tan (α + 2 β) = - \frac{1}{t a n α} = - p$ となり，2にはならない。よって $q = 1$ は不適である。

以下 $q > 1$ とする。倍角の公式より $tan 2 β = \frac{2 t a n β}{1 - t a n ^{2} β} = \frac{2 q}{q ^{2} - 1}$ である。加法定理から

tan (α + 2 β) = \frac{\frac{1}{p} + \frac{2 q}{q ^{2} - 1}}{1 - \frac{2 q}{p ( q ^{2} - 1 )}}

である。これが2に等しいので $\frac{\frac{1}{p} + \frac{2 q}{q ^{2} - 1}}{1 - \frac{2 q}{p ( q ^{2} - 1 )}} = 2$ である。分母が0なら左辺は定義されないので，この等式のもとでは分母は0でない。整理すると $q^{2} - 1 + 2 pq = 2 p (q^{2} - 1) - 4 q$ であり， $2 p (q^{2} - q - 1) = q^{2} + 4 q - 1$ を得る。したがって $p = \frac{q ^{2} + 4 q - 1}{2 ( q ^{2} - q - 1 )}$ である。 $q ≦ 3$ で $q > 1$ だから， $q = 2, 3$ を調べる。 $q = 2$ のとき $p = \frac{11}{2}$ で自然数ではない。 $q = 3$ のとき $p = \frac{20}{10} = 2$ である。よって $(p, q) = (2, 3)$ である。

(2)

$q > 3$ とする。まず $q = 4, 5, 6$ を直接確認する。上の式から

q = 4 : p = \frac{31}{22}, q = 5 : p = \frac{44}{38}, q = 6 : p = \frac{59}{58}

であり，いずれも $1 < p < 2$ なので自然数ではない。

次に $q ≧ 7$ とする。このとき $q^{2} + 4 q - 1 < 2 (q^{2} - q - 1)$ が成り立つ。実際，右辺から左辺を引くと $2 q^{2} - 2 q - 2 - (q^{2} + 4 q - 1) = q^{2} - 6 q - 1$ であり， $q ≧ 7$ なら正である。したがって $0 < p < 1$ となり，自然数 $p$ は存在しない。

以上より， $q > 3$ で条件を満たす組は存在しない。

解法2

(1)(2)をまとめて解く。

$q = 1$ のとき $tan 2 β$ は定義されず、

tan (α + 2 β) = - p \neq = 2

なので不適である。

$q > 1$ とする。倍角公式と加法定理から

2 p (q^{2} - q - 1) = q^{2} + 4 q - 1.

したがって

2 p - 1 = \frac{5 q}{q ^{2} - q - 1} .

$p$ が自然数なら左辺は整数なので

q^{2} - q - 1 ∣ 5 q .

ところが

g cd (q, q^{2} - q - 1) = g cd (q, - 1) = 1

である。よって

q^{2} - q - 1 ∣ 5.

$q > 1$ では $q^{2} - q - 1 > 0$ なので

q^{2} - q - 1 = 1 または 5.

前者から $q = 2$ を得るが、

p = \frac{11}{2}

となり自然数ではない。後者から $q = 3$ を得て

p = 2.

したがって唯一の組は

(p, q) = (2, 3) .

ゆえに (1) の答えは $(2, 3)$ であり、同時に $q > 3$ の解が存在しないことも示された。

京都大学 2017年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)(2)をまとめて解く。

京都大学 2017年度
文系数学第4問