京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
まず$q=1$のとき，$\tan \beta =1$であるから，$2\beta$は$\pi \mathrm{/}2$と同じ向きになる。このとき $$\tan (\alpha +2\beta )=-\frac{1}{\tan \alpha }=-p$$ となり，2にはならない。よって$q=1$は不適である。

以下$q>1$とする。倍角の公式より $$\tan 2\beta =\frac{2\tan \beta }{1-{\tan }^2\beta }=\frac{2q}{q^2-1}$$ である。加法定理から$$\tan (\alpha +2\beta )=\frac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{2q}{p(q^2-1)}}$$である。これが2に等しいので $$\frac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{2q}{p(q^2-1)}}=2$$ である。分母が0なら左辺は定義されないので，この等式のもとでは分母は0でない。整理すると $q^2-1+2pq=2p(q^2-1)-4q$ であり，$2p(q^2-q-1)=q^2+4q-1$ を得る。したがって $$p=\frac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}$$ である。 $q\leqq 3$で$q>1$だから，$q=2,3$を調べる。$q=2$のとき $$p=\frac{11}{2}$$ で自然数ではない。$q=3$のとき $$p=\frac{20}{10}=2$$ である。よって $(p,q)=(2,3)$ である。

(2) $q>3$とする。まず$q=4,5,6$を直接確認する。上の式から$$q=4:p=\frac{31}{22},q=5:p=\frac{44}{38},q=6:p=\frac{59}{58}$$であり，いずれも $1<p<2$ なので自然数ではない。

次に$q\geqq 7$とする。このとき $q^2+4q-1<2(q^2-q-1)$ が成り立つ。実際，右辺から左辺を引くと $$2q^2-2q-2-(q^2+4q-1)=q^2-6q-1$$ であり，$q\geqq 7$なら正である。したがって $0<p<1$ となり，自然数$p$は存在しない。

以上より，$q>3$で条件を満たす組は存在しない。

加法定理から得られる式を、大小評価ではなく整除条件で絞る。$q>1$ では $p=\frac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}$。これを $2p-1=\frac{5q}{q^2-q-1}$ と変形し、$\gcd (q,q^2-q-1)=1$ から $q^2-q-1\mid 5$ を導く。

(1) (2)をまとめて解く。
$q=1$ のとき $\tan 2\beta$ は定義されず、$$\tan (\alpha +2\beta )=-p\mathrm{\ne }2$$なので不適である。

$q>1$ とする。倍角公式と加法定理から$$2p(q^2-q-1)=q^2+4q-1.$$したがって$$2p-1=\frac{5q}{q^2-q-1}\mathrm{.}$$$p$ が自然数なら左辺は整数なので$$q^2-q-1\mid 5q\mathrm{.}$$ところが$$\gcd (q,q^2-q-1)=\gcd (q,-1)=1$$である。よって$$q^2-q-1\mid 5.$$$q>1$ では $q^2-q-1>0$ なので$$q^2-q-1=1\text{または}5.$$前者から $q=2$ を得るが、$$p=\frac{11}{2}$$となり自然数ではない。後者から $q=3$ を得て$$p=2.$$したがって唯一の組は$$(p,q)=(2,3)\mathrm{.}$$ゆえに (1) の答えは $(2,3)$ であり、同時に $q>3$ の解が存在しないことも示された。