京都大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
点 $P$ を原点とする。$P$ は $AB$ の中点なので，あるベクトル $\vec{a}$ を用いて $$A=\vec{a},B=-\vec{a}$$ と表せる。また $Q$ の位置ベクトルを $\vec{q}$ とし，$Q$ が $CD$ の中点であることから，あるベクトル $\vec{c}$ を用いて $$C=\vec{q}+\vec{c},D=\vec{q}-\vec{c}$$ と表す。

条件 $AC=BD$ より $$\mathrm{\mid }\vec{q}+\vec{c}-\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{q}-\vec{c}+\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$$ である。右辺は $\mathrm{\mid }\vec{q}-(\vec{c}-\vec{a}){\mathrm{\mid }}^2$ であるから，差を取ると $$4\vec{q}\cdot (\vec{c}-\vec{a})=0$$ すなわち $$\vec{q}\cdot (\vec{c}-\vec{a})=0$$ である。

同様に $AD=BC$ より $$\mathrm{\mid }\vec{q}-\vec{c}-\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{q}+\vec{c}+\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$$ であり，これは $$\vec{q}\cdot (\vec{c}+\vec{a})=0$$ を与える。2つの式を引くと $\vec{q}\cdot \vec{a}=0$ である。

ここで $$\overrightarrow{PQ}=\vec{q},\overrightarrow{AB}=B-A=-2\vec{a}$$ である。したがって $$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AB}=0$$ となり，辺 $AB$ と線分 $PQ$ は垂直である。

(2)
上で得た2つの式 $$\vec{q}\cdot (\vec{c}-\vec{a})=0,\vec{q}\cdot (\vec{c}+\vec{a})=0$$ を足すと $\vec{q}\cdot \vec{c}=0$ である。よって $PQ$ は $AB$ だけでなく $CD$ にも垂直である。

直線 $PQ$ を軸として空間を180度回転させることを考える。この回転では $\vec{q}$ の方向はそのまま保たれ，$\vec{q}$ に垂直な成分は符号が反対になる。いま $\vec{a}$ も $\vec{c}$ も $\vec{q}$ に垂直であるから，この回転によって$$\vec{a}\leftrightarrow -\vec{a},\vec{q}+\vec{c}\leftrightarrow \vec{q}-\vec{c}$$となる。すなわち $A\leftrightarrow B,C\leftrightarrow D$ である。

平面 $\alpha$ は軸 $PQ$ を含むので，この180度回転で平面 $\alpha$ は自分自身に移る。また，この回転は平面 $\alpha$ の両側を入れ替える。したがって，平面 $\alpha$ によって分けられた四面体の2つの部分は，この回転により互いに移り合う。回転は体積を保つので，2つの部分の体積は等しい。

(1) は $P$ を原点として中点ベクトルを置き，2つの辺長条件の差から $PQ\perp AB$ と $PQ\perp CD$ を得る。(2)では $PQ$ を $z$ 軸，切断平面 $\alpha$ を $xz$ 平面に選ぶ。4頂点の座標が $z$ 軸まわりの180度回転で2組に交換されることを座標で示し，平面の両側の体積が等しいと結論する。

(1)

$P$ を原点とし，$$A=\mathit{a},B=-\mathit{a},Q=\mathit{q},C=\mathit{q}+\mathit{c},D=\mathit{q}-\mathit{c}$$と表す。

$AC=BD$ の両辺を2乗して差を取ると$$4\mathit{q}\cdot (\mathit{c}-\mathit{a})=0.$$同様に $AD=BC$ から$$\mathit{q}\cdot (\mathit{c}+\mathit{a})=0$$を得る。2式の差と和を取れば$$\mathit{q}\cdot \mathit{a}=0,\mathit{q}\cdot \mathit{c}=0.$$$$\overrightarrow{PQ}=\mathit{q}$$，$$\overrightarrow{AB}=-2\mathit{a}$$ だから$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AB}=0.$$したがって $AB\perp PQ$ である。

(2)

$PQ$ を $z$ 軸とし，$PQ$ を含む平面 $\alpha$ を $xz$ 平面とするように直交座標を取る。$P=(0,0,0)$，$Q=(0,0,h)$ と書く。

上で $\mathit{a},\mathit{c}$ はともに $\mathit{q}$ と垂直であることを示した。よって適当な実数 $u,v,r,s$ により$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle A}& {\displaystyle =(u,v,0),}& {\displaystyle B}& {\displaystyle =(-u,-v,0),}\\ {\displaystyle C}& {\displaystyle =(r,s,h),}& {\displaystyle D}& {\displaystyle =(-r,-s,h)}\end{array}$$と表せる。

$z$ 軸まわりに180度回転する写像は$$(x,y,z)⟼(-x,-y,z)$$である。この回転により$$A⟷B,C⟷D$$となるから，四面体 $ABCD$ は自分自身に移る。一方，切断平面 $\alpha$ は $y=0$ であり回転後も不変だが，$y>0$ の側と $y<0$ の側は交換される。

したがって，平面 $\alpha$ で切られた2つの部分はこの回転で互いに移り合う。回転は体積を保つので，2つの部分の体積は等しい。