京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$$L=\{1,2,3,4\},H=\{5,6\}$$とおく。$X_0=0$ は $L$ とみなせる。条件は、状態列で $L$ から $H$ への移行がちょうど1回起こることである。

このとき $H$ は1つの連続ブロックとして現れる。長さを $h$ とすれば、その開始位置は $n-h+1$ 通りであり、各状態列の確率は$${\left(\frac{1}{3}\right)}^h{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-h}$$である。したがって求める確率 $p_n$ は$$p_n=\sum _{h=1}^n(n-h+1){\left(\frac{1}{3}\right)}^h{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-h}$$となる。

ここで$$S_n=\sum _{h=1}^n(n-h+1){\left(\frac{1}{2}\right)}^h$$とおくと$$S_n=\frac{n}{2}+\frac{n-1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^n}$$である。$2S_n-S_n$ を取れば$$S_n=n-1+\frac{1}{2^n}$$を得る。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle ={\left(\frac{2}{3}\right)}^n{S}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-1){\left(\frac{2}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}\end{array}$$である。

途中の状態を「移行0回で現在L」「移行1回で現在H」「移行1回で現在L」の3つに分け、1回投げるごとの漸化式を立てる。各状態確率を帰納的に解いて合計する。

$$q=\frac{2}{3},r=\frac{1}{3}$$とおく。$n$ 回投げた後について、次の確率を定める。$$\begin{array}{cl}{A}_n& L\to H\text{ が0回で、現在 }L\\ B_n& L\to H\text{ が1回で、現在 }H\\ C_n& L\to H\text{ が1回で、現在 }L\end{array}$$初期値は $A_0=1,B_0=C_0=0$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_{n+1}}& {\displaystyle =q{A}_n,}\\ {\displaystyle B_{n+1}}& {\displaystyle =r(A_n+B_n),}\\ {\displaystyle C_{n+1}}& {\displaystyle =q(B_n+C_n)}\end{array}$$である。まず $A_n=q^n$ である。さらに帰納法により、$n\geqq 1$ で$$B_n=q^n-r^n,C_n=(n-2)q^n+2r^n$$が成り立つ。実際、初項 $n=1$ で成立し、上の漸化式へ代入すれば次の項でも成立する。

求める確率は $B_n+C_n$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle =B_n+C_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-1)q^n+r^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-1){\left(\frac{2}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}\end{array}$$となる。