京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

整数が3で割り切れるかどうかは，各桁の和が3で割り切れるかどうかで決まる。カード$1,2,3,4,5$を3で割った余りで分類すると $0:1,1:2,2:2$ である。 $n$枚取り出して並べたとき，桁和を3で割った余りが0となる並べ方の数を$A_n$とする。また，余り1となる並べ方の数と余り2となる並べ方の数は，余り1と余り2のカードの種類数がどちらも2であることから等しい。これを$B_n$とおく。すると $A_n+2B_n=5^n$ である。

次に1枚を追加して，余り0になる場合を数える。前の余りが0で，余り0のカードを加える場合が$A_n$通りある。前の余りが1で，余り2のカードを加える場合は，余り2のカードが2種類あるので$2B_n$通りである。前の余りが2で，余り1のカードを加える場合も$2B_n$通りである。したがって $A_{n+1}=A_n+4B_n$ である。 $B_n=(5^n-A_n)\mathrm{/}2$を代入すると $$A_{n+1}=A_n+4\cdot \frac{5^n-A_n}{2}=2\cdot 5^n-A_n$$ である。初期値は，1桁で余り0となるカードが3だけなので $A_1=1$ である。

この漸化式を解く。式 $A_{n+1}=2\cdot 5^n-A_n$ に対して，$$A_n=\frac{5^n+2(-1{)}^n}{3}$$ が成り立つことは，$n=1$で正しく，さらに代入により次の項でも成り立つので帰納的に確認できる。

全体の並べ方は$5^n$通りである。したがって求める確率は $$\frac{A_n}{5^n}=\frac{5^n+2(-1{)}^n}{3\cdot 5^n}$$ である。

1の3乗根 $\omega$ を用いる余り抽出で数える。1箱から選ぶカードの桁和生成式を $F(t)=t+t^2+t^3+t^4+t^5$ とすると、$F(t{)}^n$ の指数が3の倍数である項の係数和は $t=1,\omega ,{\omega }^2$ の3値の平均で得られる。

1の3乗根$$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$をとる。このとき$$1+\omega +{\omega }^2=0,{\omega }^3=1.$$1箱から取り出すカードの数字を指数として$$F(t)=t+t^2+t^3+t^4+t^5$$とおく。$n$ 箱から選んだ数字の和が $k$ となる列数は、$F(t{)}^n$ の $t^k$ の係数である。

指数 $k$ が3の倍数なら$$1+{\omega }^k+{\omega }^{2k}=3,$$そうでなければこの和は0である。したがって、桁和が3の倍数となる列数 $A_n$ は$$A_n=\frac{F(1{)}^n+F(\omega {)}^n+F({\omega }^2{)}^n}{3}\mathrm{.}$$ここで$$F(1)=5.$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(\omega )}& {\displaystyle =\omega +{\omega }^2+1+\omega +{\omega }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+2(\omega +{\omega }^2)=-1,}\end{array}$$同様に $F({\omega }^2)=-1$ である。よって$$A_n=\frac{5^n+2(-1{)}^n}{3}\mathrm{.}$$全事象は $5^n$ 通りなので、求める確率は$$\frac{A_n}{5^n}=\frac{5^n+2(-1{)}^n}{3\cdot 5^n}\mathrm{.}$$