京都大学 2017年度理系数学第6問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする。 $n$ 個の箱すべてに、1、2、3、4、5の5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ、計5枚入っている。

各箱から1枚ずつカードを取り出し、取り出した順に左から並べて $n$ 桁の数 $X$ を作る。

このとき、 $X$ が3で割り切れる確率を求めよ。

出典：京都大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

解法1

3で割り切れるかどうかは桁和の3で割った余りだけで決まる。各箱から出るカードの余りは，0が1種類，1が2種類，2が2種類である。 $n$ 桁までの桁和の余りが0である列数を $A_{n}$ ，余り1と余り2である列数を対称性によりともに $B_{n}$ とおく。 $A_{n} + 2 B_{n} = 5^{n}$ と，次の1枚を加えたときの $A_{n + 1} = A_{n} + 4 B_{n}$ から漸化式を作り， $A_{n}$ を求める。

解法2

1の3乗根 $ω$ を用いる余り抽出で数える。1箱から選ぶカードの桁和生成式を $F (t) = t + t^{2} + t^{3} + t^{4} + t^{5}$ とすると、 $F (t)^{n}$ の指数が3の倍数である項の係数和は $t = 1, ω, ω^{2}$ の3値の平均で得られる。

解答

解法1

整数が3で割り切れるかどうかは，各桁の和が3で割り切れるかどうかで決まる。カード $1, 2, 3, 4, 5$ を3で割った余りで分類すると $0 : 1, 1 : 2, 2 : 2$ である。 $n$ 枚取り出して並べたとき，桁和を3で割った余りが0となる並べ方の数を $A_{n}$ とする。また，余り1となる並べ方の数と余り2となる並べ方の数は，余り1と余り2のカードの種類数がどちらも2であることから等しい。これを $B_{n}$ とおく。すると $A_{n} + 2 B_{n} = 5^{n}$ である。

次に1枚を追加して，余り0になる場合を数える。前の余りが0で，余り0のカードを加える場合が $A_{n}$ 通りある。前の余りが1で，余り2のカードを加える場合は，余り2のカードが2種類あるので $2 B_{n}$ 通りである。前の余りが2で，余り1のカードを加える場合も $2 B_{n}$ 通りである。したがって $A_{n + 1} = A_{n} + 4 B_{n}$ である。 $B_{n} = (5^{n} - A_{n}) /2$ を代入すると $A_{n + 1} = A_{n} + 4 \cdot \frac{5 ^{n} - A _{n}}{2} = 2 \cdot 5^{n} - A_{n}$ である。初期値は，1桁で余り0となるカードが3だけなので $A_{1} = 1$ である。

この漸化式を解く。式 $A_{n + 1} = 2 \cdot 5^{n} - A_{n}$ に対して， $A_{n} = \frac{5 ^{n} + 2 ( - 1 ) ^{n}}{3}$ が成り立つことは， $n = 1$ で正しく，さらに代入により次の項でも成り立つので帰納的に確認できる。

全体の並べ方は $5^{n}$ 通りである。したがって求める確率は $\frac{A _{n}}{5 ^{n}} = \frac{5 ^{n} + 2 ( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 5 ^{n}}$ である。

解法2

1の3乗根

ω = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

をとる。このとき

1 + ω + ω^{2} = 0, ω^{3} = 1.

1箱から取り出すカードの数字を指数として

F (t) = t + t^{2} + t^{3} + t^{4} + t^{5}

とおく。 $n$ 箱から選んだ数字の和が $k$ となる列数は、 $F (t)^{n}$ の $t^{k}$ の係数である。

指数 $k$ が3の倍数なら

1 + ω^{k} + ω^{2 k} = 3,

そうでなければこの和は0である。したがって、桁和が3の倍数となる列数 $A_{n}$ は

A_{n} = \frac{F ( 1 ) ^{n} + F ( ω ) ^{n} + F ( ω ^{2} ) ^{n}}{3} .

ここで

F (1) = 5.

また

F (ω) = ω + ω^{2} + 1 + ω + ω^{2} = 1 + 2 (ω + ω^{2}) = - 1,

同様に $F (ω^{2}) = - 1$ である。よって

A_{n} = \frac{5 ^{n} + 2 ( - 1 ) ^{n}}{3} .

全事象は $5^{n}$ 通りなので、求める確率は

\frac{A _{n}}{5 ^{n}} = \frac{5 ^{n} + 2 ( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 5 ^{n}} .

京都大学 2017年度理系数学 第6問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

京都大学 2017年度
理系数学第6問