京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

球の中心を $O$、底面を含む平面と $O$ との距離を $u$ とする。$$0\leqq u\leqq 1$$である。底面平面と球面との交わりは、半径$$r=\sqrt{1-u^2}$$の円である。正方形の対角線はこの円の直径 $2r$ なので、底面積は$$\frac{(2r{)}^2}{2}=2(1-u^2)$$となる。

底面平面を固定すると、頂点 $A$ を反対側の最遠点に取ったとき高さが最大で、その高さは $1+u$ である。

したがって体積 $V$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(u)}& {\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot 2(1-u^2)(1+u)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{3}(1-u)(1+u{)}^2}\end{array}$$である。微分すると$$V^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{2}{3}(1+u)(1-3u)$$だから、$V$ は $0\leqq u\leqq 1\mathrm{/}3$ で増加し、$1\mathrm{/}3\leqq u\leqq 1$ で減少する。よって $u=1\mathrm{/}3$ で最大となり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_{\max }}& {\displaystyle =\frac{2}{3}(1-\frac{1}{3}){(1+\frac{1}{3})}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{64}{81}}\end{array}$$である。

同じ1変数表示を得た後、微分せずに最大値との差を因数分解する。平方因子が現れるため、最大値と等号条件を同時に確定できる。

解法1と同様に、球の中心から底面平面までの距離を $u$ とすれば$$V(u)=\frac{2}{3}(1-u)(1+u{)}^2,0\leqq u\leqq 1$$である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{64}{81}-V(u)}& {\displaystyle =\frac{64}{81}-\frac{2}{3}(1-u)(1+u{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{81}(3u-1{)}^2(3u+5)}\end{array}$$と因数分解できる。

$0\leqq u\leqq 1$ では右辺は0以上なので$$V(u)\leqq \frac{64}{81}$$である。等号は $3u-1=0$、すなわち $u=1\mathrm{/}3$ のときに成立する。よって体積の最大値は$$\frac{64}{81}$$である。