京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

最初に箱1から箱2へ移された玉の色を基準の色と呼ぶ。箱1には，この基準の色と反対の色の玉が1個残る。したがって，最後に箱 $n$ から箱1へ入れる玉の色が基準の色であれば，箱1には赤玉と白玉が1個ずつ入る。

いま，ある箱に直前から移されてきた玉の色を $C$ とする。その箱には，もともと赤玉と白玉が1個ずつ入っており，さらに色 $C$ の玉が1個加わっている。よって次に取り出される玉の色が $C$ のままである確率は ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ であり，反対の色になる確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

基準の色と同じ色が移されている確率を $p_m$ とする。ここで $m$ は，最初に箱1から箱2へ移した後，さらに色の受け渡しを $m$ 回行った時点を表す。初めは $p_0=1$ である。上の考察より $${\displaystyle p_{m+1}=\frac{2}{3}{p}_m+\frac{1}{3}(1-p_m)=\frac{1}{3}{p}_m+\frac{1}{3}}$$ である。

この漸化式を定数解 $1\mathrm{/}2$ からの差で見ると $${\displaystyle p_{m+1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}(p_m-\frac{1}{2})}$$ である。したがって $${\displaystyle p_m=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3^m}}$$ である。

最初に箱1から箱2へ移した後，箱2から箱3，$\dots$，箱$n-1$から箱$n$，さらに箱$n$から箱1へ移すまで，色の推移は全部で $n-1$ 回起こる。よって求める確率は ${\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}}}$ である。

箱1から最初に赤玉を移した場合と白玉を移した場合を分ける。途中の箱が赤2白1または赤1白2になる確率を連立漸化式で表し，和と差を取って解く。最後に箱1の残りの色と反対の玉が戻る確率を合計する。

最初に箱1から赤玉を箱2へ移した場合を考える。この事象の確率は $1\mathrm{/}2$ である。操作直前の箱 $k$ が赤2個・白1個である確率を $r_k$，赤1個・白2個である確率を $w_k$ とする。この条件の下では$$r_2=1,w_2=0$$であり，1個を次へ送ると$$r_{k+1}=\frac{2}{3}{r}_k+\frac{1}{3}{w}_k,w_{k+1}=\frac{1}{3}{r}_k+\frac{2}{3}{w}_k$$となる。したがって$$r_{k+1}+w_{k+1}=r_k+w_k=1,r_{k+1}-w_{k+1}=\frac{1}{3}(r_k-w_k)$$であるから$$r_n=\frac{1}{2}\{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-2}\},w_n=\frac{1}{2}\{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-2}\}$$を得る。

箱1には白玉が残っているので，最後に赤玉が戻ればよい。その条件付き確率は$$\frac{2}{3}{r}_n+\frac{1}{3}{w}_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$$である。最初に白玉を移した場合も色を入れ替えれば同じ確率である。よって求める確率は$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}}$$である。$n=2$ でも $2\mathrm{/}3$ となり，直接計算と一致する。