京都大学 2021年度
文系数学 第3問

解答

解法1（基準色との一致確率を1変数で追う）

最初に箱1から箱2へ移された玉の色を基準の色と呼ぶ。箱1には，この基準の色と反対の色の玉が1個残る。したがって，最後に箱 $n$ から箱1へ入れる玉の色が基準の色であれば，箱1には赤玉と白玉が1個ずつ入る。

いま，ある箱に直前から移されてきた玉の色を $C$ とする。その箱には，もともと赤玉と白玉が1個ずつ入っており，さらに色 $C$ の玉が1個加わっている。よって次に取り出される玉の色が $C$ のままである確率は $\frac{2}{3}$ であり，反対の色になる確率は $\frac{1}{3}$ である。

基準の色と同じ色が移されている確率を $p_m$ とする。ここで $m$ は，最初に箱1から箱2へ移した後，さらに色の受け渡しを $m$ 回行った時点を表す。初めは $p_0=1$ である。上の考察より $p_{m+1}=\frac{2}{3}{p}_m+\frac{1}{3}(1-p_m)=\frac{1}{3}{p}_m+\frac{1}{3}$ である。

この漸化式を定数解 $1/2$ からの差で見ると $p_{m+1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\left(p_m-\frac{1}{2}\right)$ である。したがって $p_m=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3^m}$ である。

最初に箱1から箱2へ移した後，箱2から箱3，$\dots$，箱$n-1$から箱$n$，さらに箱$n$から箱1へ移すまで，色の推移は全部で $n-1$ 回起こる。よって求める確率は $\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}}$ である。

解法2（赤優勢・白優勢の連立漸化式を対角化する）

最初に箱1から赤玉を箱2へ移した場合を考える。この事象の確率は $1/2$ である。操作直前の箱 $k$ が赤2個・白1個である確率を $r_k$，赤1個・白2個である確率を $w_k$ とする。この条件の下では

であり，1個を次へ送ると

となる。したがって

であるから

を得る。

箱1には白玉が残っているので，最後に赤玉が戻ればよい。その条件付き確率は

である。最初に白玉を移した場合も色を入れ替えれば同じ確率である。よって求める確率は

である。$n=2$ でも $2/3$ となり，直接計算と一致する。