京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

2点 $B(-\sqrt{3},-1),C(\sqrt{3},-1)$ の距離は $BC=2\sqrt{3}$ である。$\mathrm{\angle }BAC=\pi \mathrm{/}3$ なので，三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると，正弦定理より $${\displaystyle BC=2R\sin \frac{\pi }{3}}$$ である。したがって $${\displaystyle 2\sqrt{3}=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ より $R=2$ である。

外心は線分 $BC$ の垂直二等分線上にある。線分 $BC$ の中点は $(0,-1)$ であり，垂直二等分線は $y$ 軸である。$B,C$ から距離2の $y$ 軸上の点は $(0,0),(0,-2)$ である。

中心 $(0,-2)$，半径2の円は $y\leqq 0$ の範囲にあり，$y$ 座標が正である点 $A$ を含まない。よって外心は $(0,0)$ である。

(2)

(1) より，点 $A$ は $x^2+y^2=4,y>0$ を満たす円弧上を動く。

外心が原点である三角形について，垂心を $H$ とすると$$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$が成り立つ。実際，この点を $H$ とおけば $$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$ であり，$\mathrm{\mid }OB\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }OC\mathrm{\mid }$ なので$$(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\mathrm{\mid }OC{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }OB{\mathrm{\mid }}^2=0$$となり，$AH\perp BC$ が分かる。他の頂点についても同様に垂線条件が成り立つ。

ここで $$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(0,-2)$$ であるから $H=A+(0,-2)$ である。 $A=(x,y)$，$H=(X,Y)$ とおくと $X=x,Y=y-2$ である。したがって条件 $x^2+y^2=4,y>0$ は $$X^2+(Y+2{)}^2=4,Y>-2$$ に移る。よって垂心の軌跡は $$X^2+(Y+2{)}^2=4,Y>-2$$ で表される円弧である。

正弦定理と対称性で外心を求め，$A=(2\cos \theta ,2\sin \theta )$ と媒介表示する。垂心 $H=(X,Y)$ について，$BC$ が水平であることから1本目の高さをすぐ書き，もう1本の高さとの直交条件から $Y$ を求めて媒介変数を消去する。

(1)

$BC=2\sqrt{3}$，$\mathrm{\angle }BAC=\pi \mathrm{/}3$ なので，外接円半径を $R$ とすると正弦定理から$$2\sqrt{3}=2R\sin \frac{\pi }{3}$$より $R=2$ である。外心は $BC$ の垂直二等分線である $y$ 軸上にあり，$B,C$ から距離2の候補は $(0,0),(0,-2)$ である。$A$ の $y$ 座標が正なので，外心は$$(0,0)$$である。

(2)

したがって $$A=(2\cos \theta ,2\sin \theta )(0<\theta <\pi )$$ と表せる。垂心を $H=(X,Y)$ とする。$BC$ は水平なので $A$ からの高さは鉛直線であり$$X=2\cos \theta$$である。

また$$\overrightarrow{AC}=(\sqrt{3}-2\cos \theta ,-1-2\sin \theta )$$であり，$B$ からの高さと $AC$ は垂直だから$$(X+\sqrt{3},Y+1)\cdot (\sqrt{3}-2\cos \theta ,-1-2\sin \theta )=0$$である。$X=2\cos \theta$ を代入して整理すると$$Y=2\sin \theta -2$$を得る。よって$$X^2+(Y+2{)}^2=4{\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta =4$$であり，$0<\theta <\pi$ から $Y>-2$ である。逆にこの上半円上の各点から $A=(X,Y+2)$ を取れば条件を満たす。したがって軌跡は$$X^2+(Y+2{)}^2=4,Y>-2$$で表される円弧である。