京都大学 2021年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面において，2点 $B (- 3, - 1)$ ， $C (3, - 1)$ に対し，点 $A$ は次の条件(＊)を満たすとする．

(＊) $∠ B A C = \frac{π}{3}$ かつ点 $A$ の $y$ 座標は正．

次の各問に答えよ．

(1) $△ A B C$ の外心の座標を求めよ．

(2) 点 $A$ が条件(＊)を満たしながら動くとき， $△ A B C$ の垂心の軌跡を求めよ．

出典：京都大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

解法1（外接円と位置ベクトルの垂心公式を使う）

$B C$ は水平な弦で長さ $23$ ，かつ $∠ B A C = π /3$ なので， $A$ は弦 $B C$ を60度で見る円弧上にある。外接円の半径は正弦定理から2で， $A$ の $y$ 座標が正になる方の円は中心が原点である。(2) は外心が原点である三角形で，垂心 $H$ が $O H = O A + O B + O C$ を満たすことを用い， $A$ の円弧を下へ2だけ平行移動する。

解法2（2本の高さを座標で連立して消去する）

正弦定理と対称性で外心を求め， $A = (2 cos θ, 2 sin θ)$ と媒介表示する。垂心 $H = (X, Y)$ について， $B C$ が水平であることから1本目の高さをすぐ書き，もう1本の高さとの直交条件から $Y$ を求めて媒介変数を消去する。

解答

解法1（外接円と位置ベクトルの垂心公式を使う）

(1)

2点 $B (- 3, - 1), C (3, - 1)$ の距離は $B C = 23$ である。 $∠ B A C = π /3$ なので，三角形 $A B C$ の外接円の半径を $R$ とすると，正弦定理より $B C = 2 R sin \frac{π}{3}$ である。したがって $23 = 2 R \cdot \frac{3}{2}$ より $R = 2$ である。

外心は線分 $B C$ の垂直二等分線上にある。線分 $B C$ の中点は $(0, - 1)$ であり，垂直二等分線は $y$ 軸である。 $B, C$ から距離2の $y$ 軸上の点は $(0, 0), (0, - 2)$ である。

中心 $(0, - 2)$ ，半径2の円は $y ≦ 0$ の範囲にあり， $y$ 座標が正である点 $A$ を含まない。よって外心は $(0, 0)$ である。

(2)

(1) より，点 $A$ は $x^{2} + y^{2} = 4, y > 0$ を満たす円弧上を動く。

外心が原点である三角形について，垂心を $H$ とすると

O H = O A + O B + O C

が成り立つ。実際，この点を $H$ とおけば $A H = O B + O C$ であり， $∣ O B ∣ = ∣ O C ∣$ なので

(O B + O C) \cdot (O C - O B) = ∣ O C ∣^{2} - ∣ O B ∣^{2} = 0

となり， $A H ⊥ B C$ が分かる。他の頂点についても同様に垂線条件が成り立つ。

ここで $O B + O C = (0, - 2)$ であるから $H = A + (0, - 2)$ である。 $A = (x, y)$ ， $H = (X, Y)$ とおくと $X = x, Y = y - 2$ である。したがって条件 $x^{2} + y^{2} = 4, y > 0$ は $X^{2} + (Y + 2)^{2} = 4, Y > - 2$ に移る。よって垂心の軌跡は $X^{2} + (Y + 2)^{2} = 4, Y > - 2$ で表される円弧である。

解法2（2本の高さを座標で連立して消去する）

(1)

$B C = 23$ ， $∠ B A C = π /3$ なので，外接円半径を $R$ とすると正弦定理から

23 = 2 R sin \frac{π}{3}

より $R = 2$ である。外心は $B C$ の垂直二等分線である $y$ 軸上にあり， $B, C$ から距離2の候補は $(0, 0), (0, - 2)$ である。 $A$ の $y$ 座標が正なので，外心は

(0, 0)

である。

(2)

したがって $A = (2 cos θ, 2 sin θ) (0 < θ < π)$ と表せる。垂心を $H = (X, Y)$ とする。 $B C$ は水平なので $A$ からの高さは鉛直線であり

X = 2 cos θ

である。

また

A C = (3 - 2 cos θ, - 1 - 2 sin θ)

であり， $B$ からの高さと $A C$ は垂直だから

(X + 3, Y + 1) \cdot (3 - 2 cos θ, - 1 - 2 sin θ) = 0

である。 $X = 2 cos θ$ を代入して整理すると

Y = 2 sin θ - 2

を得る。よって

X^{2} + (Y + 2)^{2} = 4 cos^{2} θ + 4 sin^{2} θ = 4

であり， $0 < θ < π$ から $Y > - 2$ である。逆にこの上半円上の各点から $A = (X, Y + 2)$ を取れば条件を満たす。したがって軌跡は

X^{2} + (Y + 2)^{2} = 4, Y > - 2

で表される円弧である。

京都大学 2021年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（外接円と位置ベクトルの垂心公式を使う）

解法2（2本の高さを座標で連立して消去する）

解答

解法1（外接円と位置ベクトルの垂心公式を使う）

(1)

(2)

解法2（2本の高さを座標で連立して消去する）

(1)

(2)

京都大学 2021年度
理系数学第5問