問題
次の各問に答えよ．
問1 10進法で表された数6.75を2進法で表せ．また，この数と2進法で表された数101.0101との積として与えられる数を2進法および4進法で表せ．
問2 において，，とする．の垂心をとするとき，をとを用いて表せ．
出典：京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
解法1（位取り計算と内積条件を順に使う）
問1は整数部と小数部を分けて2進法へ直し，積は分数で計算してから2進小数に戻す。4進法は2進法の2桁を1組にまとめればよい。問2は とおき，垂心の条件 ， を内積で表す。辺の長さと角から を先に求め，2元連立一次方程式に落とす。
解法2（分数換算と直交座標で処理する）
問1は2進小数を分母が2の累乗である分数へ直して積を計算し，最後に2進法・4進法へ戻す。問2は座標軸を辺 に合わせて垂線の交点を直接求め，得られた座標を の係数へ戻す。
解答
解法1（位取り計算と内積条件を順に使う）
問1
まず である。整数部は であり，小数部は である。したがって である。
また であるから，積は である。ここで であり，
である。よって積を2進法で表すと である。
4進法へは，2進法の小数点を基準に2桁ずつまとめればよい。すなわち である。
問2
とおく。条件より
である。
垂心を とし， とおく。垂心の条件から である。したがって
である。
内積を計算すると すなわち である。これを解くと である。よって
である。
解法2（分数換算と直交座標で処理する）
問1
2進数 は
であり， である。したがって積は
である。，また
だから，積は である。小数点を基準に2桁ずつまとめると
となる。
問2
とし， より とおく。 に垂直な からの高さは である。 からの高さ上の点 は
を満たす。 を代入すると なので
である。
とおけば
である。第2成分から ，第1成分から を得る。よって
である。