京都大学 2021年度
文系数学 第5問

解答

解法1（5を法としてフェルマーの小定理を使う）

まず $p=5$ の場合を確認する。このとき $p^4+14=5^4+14=639=3\cdot 213$ であるから合成数である。

以下，$p\ne 5$ とする。このとき $p$ は5で割り切れないので，5で割った余りは $1,2,3,4$ のいずれかである。それぞれ4乗を5で割った余りを見ると

である。したがって $p^4\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ であり，$p^4+14\equiv 1+14\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ である。

また，素数 $p$ について $p^4+14>5$ である。よって $p^4+14$ は5で割り切れる5より大きい整数なので，素数ではない。

別解。$p\ne 5$ の部分は，5で割った余りごとに直接確認してもよい。素数 $p$ が5の倍数でなければ，$p$ は5を法として $\pm 1,\pm 2$ のいずれかであり，どの場合も $p^2\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ または $p^2\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ であり，さらに $p^4\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ となる。

解法2（3を法として素数を場合分けする）

$p=3$ のとき

であり，素数ではない。

$p\ne 3$ のとき，素数 $p$ は3で割り切れないから

である。どちらの場合も $p^4\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なので

となる。一方 $p\geqq 2$ より $p^4+14\geqq 30>3$ である。したがって $p^4+14$ は3で割り切れる3より大きい整数であり，素数ではない。