京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

まず $p=5$ の場合を確認する。このとき $$p^4+14=5^4+14=639=3\cdot 213$$ であるから合成数である。

以下，$p\mathrm{\ne }5$ とする。このとき $p$ は5で割り切れないので，5で割った余りは $1,2,3,4$ のいずれかである。それぞれ4乗を5で割った余りを見ると$$1^4\equiv 1,2^4=16\equiv 1,3^4=81\equiv 1,4^4\equiv (-1{)}^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$$である。したがって $p^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ であり，$p^4+14\equiv 1+14\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ である。

また，素数 $p$ について $p^4+14>5$ である。よって $p^4+14$ は5で割り切れる5より大きい整数なので，素数ではない。

別解。$p\mathrm{\ne }5$ の部分は，5で割った余りごとに直接確認してもよい。素数 $p$ が5の倍数でなければ，$p$ は5を法として $\pm 1,\pm 2$ のいずれかであり，どの場合も $p^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ または $p^2\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ であり，さらに $p^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ となる。

素数 $p=3$ を先に処理し，それ以外の素数は3で割った余りが1または2であることを使う。どちらでも4乗の余りが1になるため，$p^4+14$ が3の倍数になる。

$p=3$ のとき$$p^4+14=3^4+14=95=5\cdot 19$$であり，素数ではない。

$p\mathrm{\ne }3$ のとき，素数 $p$ は3で割り切れないから$$p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\text{または}p\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$である。どちらの場合も $p^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ なので$$p^4+14\equiv 1+2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$となる。一方 $p\geqq 2$ より $p^4+14\geqq 30>3$ である。したがって $p^4+14$ は3で割り切れる3より大きい整数であり，素数ではない。