京都大学 2023年度
理系数学 第4問
- 試験区分
- 前期日程 一般選抜
- 対象
- 理系学部
- 分野
- 関数、微分
- 解法
- 置換、微分による最大最小、範囲評価
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 15分
問題
次の関数f(x)の最大値と最小値を求めよ．
f(x)=e−x2+41x2+1+e−x2+41x2+11(−1≦x≦1)
ただし，eは自然対数の底であり，その値はe=2.71⋯⋯である．
出典：京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜 理系 第4問
方針
解法1（標準解法）
偶関数なので s=x2 とおき，0≦s≦1 の1変数問題にする。まず u=e−s+s/4+1 の範囲を単調性から求める。e−1>1/4 を使って u が減少することを示し，さらに u>1 では u+1/u が増加することから，u の最大・最小がそのまま f の最大・最小を与える。
解法2（元の関数を直接微分する方法）
g(x)=e−x2+x2/4+1 とおいて f=g+1/g と見る。0<x≦1 で g′(x)<0，かつ g(x)>1 だから f′(x)=g′(x)(1−1/g(x)2)<0 となる。偶関数であることと合わせ，端点と原点だけを代入して最大・最小を決める。
解答
解法1（標準解法）
s=x2 とおくと，−1≦x≦1 より 0≦s≦1 である。さらに u=e−s+4s+1 とおくと f(x)=u+u1 である。
まず u の範囲を調べる。u を s の関数と見ると dsdu=−e−s+41 である。0≦s≦1 では e−s≧e−1 であり，e=2.71⋯<4 だから e−1>41 である。よって dsdu<0 となり，u は 0≦s≦1 で単調減少する。
したがって u(0)=2,u(1)=1+e1+41=45+e1 であり，45+e1≦u≦2 である。特に u>1 である。
次に F(u)=u+1/u とおくと，u>1 で F′(u)=1−u21>0 である。よって F(u) は u>1 で単調増加する。したがって f(x) は u が最大のとき最大，u が最小のとき最小である。
最大値は s=0，すなわち x=0 のときで 2+21=25 である。最小値は s=1，すなわち x=±1 のときで
45+e1+45+e11=45+e1+5e+44e
である。
解法2（元の関数を直接微分する方法）
g(x)=e−x2+4x2+1
とおくと，f(x)=g(x)+1/g(x) である。f は偶関数なので，まず 0≦x≦1 を考える。
0<x≦1 では
g′(x)=−2xe−x2+2x=x(21−2e−x2)
である。e=2.71⋯<4 だから
e−x2≧e−1>41
であり，したがって g′(x)<0 である。
また明らかに g(x)>1 だから
1−g(x)21>0.
よって
f′(x)=g′(x)(1−g(x)21)<0(0<x≦1)
となる。したがって f は [0,1] で単調減少し，偶関数であることから最大値は x=0，最小値は x=±1 でとる。
f(0)=2+21=25
であり，また g(±1)=1+1/e+1/4=5/4+1/e だから
f(±1)=45+e1+5e+44e.
よって最大値は 5/2，最小値は
45+e1+5e+44e
である。
