京都大学 2023年度理系数学第6問解答・解説

問題

$p$ を3以上の素数とする．また， $θ$ を実数とする．

(1) $cos 3 θ$ と $cos 4 θ$ を $cos θ$ の式として表せ．

(2) $cos θ = \frac{1}{p}$ のとき， $θ = \frac{m}{n} \cdot π$ となるような正の整数 $m$ ， $n$ が存在するか否かを理由を付けて判定せよ．

出典：京都大学 2023年度前期日程一般選抜理系第6問

方針

解法1（標準解法）

(1) は加法定理と倍角公式で $cos 3 θ$ ， $cos 4 θ$ を $c = cos θ$ の式にする。(2) は背理法で， $θ$ が $π$ の有理数倍だと仮定する。 $b_{k} = 2 cos k θ$ とおくと， $b_{k + 1} = (2/ p) b_{k} - b_{k - 1}$ という漸化式を満たす。 $b_{k} = A_{k} / p^{k}$ と表し， $A_{k} \equiv 2^{k} (mod p)$ から $A_{k}$ が $p$ で割り切れないことを示し，周期性から生じる $b_{q} = 2$ と矛盾させる。

解法2（整数係数多項式と有理数解による方法）

(1) は倍角公式から求める。(2) は $P_{0} (X) = 2, P_{1} (X) = X, P_{k + 1} (X) = X P_{k} (X) - P_{k - 1} (X)$ と定める。加法定理から $P_{k} (2 cos θ) = 2 cos k θ$ を示す。 $P_{k}$ は最高次係数1の整数係数多項式なので， $θ / π$ が有理数なら $2/ p$ が最高次係数1の整数係数方程式の有理数解となり，有理数解の性質に反する。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$c = cos θ$ とおく。加法定理より

cos 3 θ = cos (2 θ + θ) = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = (2 c^{2} - 1) c - 2 (1 - c^{2}) c = 4 c^{3} - 3 c

である。また

cos 4 θ = 2 cos^{2} 2 θ - 1 = 2 (2 c^{2} - 1)^{2} - 1 = 8 c^{4} - 8 c^{2} + 1

である。したがって

cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ, cos 4 θ = 8 cos^{4} θ - 8 cos^{2} θ + 1

である。

(2)

そのような正の整数 $m, n$ は存在しないことを示す。背理法で， $θ = \frac{m}{n} π$ となる正の整数 $m, n$ が存在すると仮定する。このとき $q = 2 n$ とおけば $q θ = 2 mπ$ である。 $b_{k} = 2 cos k θ (k = 0, 1, 2, \dots)$ とおく。 $cos θ = 1/ p$ なので $b_{0} = 2, b_{1} = \frac{2}{p}$ である。また三角関数の和積公式から $2 cos (k + 1) θ + 2 cos (k - 1) θ = 4 cos k θ cos θ$ であるから $b_{k + 1} + b_{k - 1} = \frac{2}{p} b_{k}$ すなわち $b_{k + 1} = \frac{2}{p} b_{k} - b_{k - 1}$ である。

ここで $b_{k} = \frac{A _{k}}{p ^{k}}$ と書く。 $A_{0} = 2$ ， $A_{1} = 2$ であり，漸化式に代入すると

\frac{A _{k + 1}}{p ^{k + 1}} = \frac{2}{p} \cdot \frac{A _{k}}{p ^{k}} - \frac{A _{k - 1}}{p ^{k - 1}}

だから $A_{k + 1} = 2 A_{k} - p^{2} A_{k - 1}$ である。よってすべての $A_{k}$ は整数である。

さらに $k ≧ 1$ について，この漸化式を $p$ で割った余りで見ると $A_{k + 1} \equiv 2 A_{k} (mod p)$ である。 $A_{1} = 2$ だから帰納的に $A_{k} \equiv 2^{k} (mod p) (k ≧ 1)$ である。 $p$ は3以上の素数なので， $2^{k}$ は $p$ で割り切れない。したがって $A_{k} は p で割り切れない$ ことが分かる。

一方，仮定より $q θ = 2 mπ$ であるから $b_{q} = 2 cos (q θ) = 2$ である。したがって $\frac{A _{q}}{p ^{q}} = 2$ となり， $A_{q} = 2 p^{q}$ である。これは $A_{q}$ が $p$ で割り切れることを意味し，上で示した結論に反する。

よって $θ = (m / n) π$ となる正の整数 $m, n$ は存在しない。

解法2（整数係数多項式と有理数解による方法）

(1)

cos 3 θ = 2 cos θ cos 2 θ - cos θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ

である。また

cos 4 θ = 2 cos^{2} 2 θ - 1 = 2 (2 cos^{2} θ - 1)^{2} - 1 = 8 cos^{4} θ - 8 cos^{2} θ + 1.

(2)

そのような正の整数 $m, n$ は存在しないことを示す。

多項式 $P_{k} (X)$ を

P_{0} (X) = 2, P_{1} (X) = X, P_{k + 1} (X) = X P_{k} (X) - P_{k - 1} (X)

で定める。加法定理から

2 cos (k + 1) θ = (2 cos θ) (2 cos k θ) - 2 cos (k - 1) θ

であるから，帰納的に

P_{k} (2 cos θ) = 2 cos k θ

が成り立つ。また漸化式から， $k ≧ 1$ では $P_{k} (X)$ は最高次係数1の整数係数 $k$ 次多項式である。

ここで $θ = mπ / n$ となる正の整数 $m, n$ が存在すると仮定する。すると

P_{2 n} (2 cos θ) = 2 cos (2 n θ) = 2

である。 $cos θ = 1/ p$ だから， $2/ p$ は最高次係数1の整数係数多項式

P_{2 n} (X) - 2

の有理数解となる。

整数係数多項式の有理数解では，既約分数で表した分母は最高次係数を割り切る。ところが最高次係数は1であるから， $2/ p$ は整数でなければならない。 $p$ は3以上の素数なので $2/ p$ は整数ではなく，矛盾する。

したがって $θ = (m / n) π$ となる正の整数 $m, n$ は存在しない。

京都大学 2023年度理系数学 第6問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（整数係数多項式と有理数解による方法）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

解法2（整数係数多項式と有理数解による方法）

(1)

(2)

京都大学 2023年度
理系数学第6問