九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $y$ 軸との交点では $x=0$ である。したがって $f(0)=a^2+a$ より $P=(0,a^2+a)$ である。

(2)
まず $f(a)=-a^2+a^2+a=a$ なので、点 $Q(a,a)$ は放物線上にある。また $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x$ であるから、$Q$ における接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(a)=-2a$ である。よって接線は $y-a=-2a(x-a)$ すなわち $y=-2ax+2a^2+a$ である。

(3)
接線と $x$ 軸との交点では $y=0$ であるから $0=-2ax+2a^2+a$ である。$a>0$ より両辺を $a$ で割ることができ、$2x=2a+1$ となる。したがって $$R=(a+{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$$ である。

(4)
図形 $OPQR$ は、$0\leqq x\leqq a$ では放物線 $y=f(x)$ の下側、$a\leqq x\leqq a+1\mathrm{/}2$ では線分 $QR$ の下側で囲まれる。
したがって$$S={\int }_0^a(-x^2+a^2+a)dx+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a$$である。第2項は、底辺 $1\mathrm{/}2$、高さ $a$ の直角三角形 $QR$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積である。

計算すると$${\int }_0^a(-x^2+a^2+a)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+(a^2+a)x]}_0^a=-{\displaystyle \frac{a^3}{3}}+a^3+a^2={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^3+a^2$$である。よって $$S={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^3+a^2+{\displaystyle \frac{a}{4}}$$ である。
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(1) 〜(3) で点と接線を求める。(4) では領域を二つに足す代わりに、
$y$ 軸・$x$ 軸・接線が作る大きな直角三角形から、
$0\leqq x\leqq a$ における接線と放物線の間の面積を引く。
二曲線の差が $(x-a{)}^2$ になることを利用する。

(1) $f(0)=a^2+a$ より$$P=(0,a^2+a)\mathrm{.}$$(2) $f(a)=a$, $f^{\mathrm{\prime }}(a)=-2a$ だから、接線は$$y-a=-2a(x-a),y=-2ax+2a^2+a\mathrm{.}$$(3) $y=0$ とすると、$a>0$ より$$R=(a+{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\mathrm{.}$$(4) 接線の $y$ 切片は $2a^2+a=a(2a+1)$、
$x$ 切片は $a+1\mathrm{/}2$ である。したがって両座標軸と接線が作る
大きな三角形の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}(a+{\displaystyle \frac{1}{2}})a(2a+1)={\displaystyle \frac{a(2a+1{)}^2}{4}}\mathrm{.}$$$0\leqq x\leqq a$ では、接線の高さから放物線の高さを引くと$$(-2ax+2a^2+a)-(-x^2+a^2+a)=(x-a{)}^2\mathrm{.}$$よって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a(2a+1{)}^2}{4}}-{\int }_0^a(a-x{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a(2a+1{)}^2}{4}}-{\displaystyle \frac{a^3}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^3+a^2+{\displaystyle \frac{a}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$