九州大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$\overrightarrow{AB}=(b,b^2-a),\overrightarrow{AC}=(c,c^2-a)\mathrm{.}$$$AB=AC$ より$$(b^2-c^2)(1+b^2+c^2-2a)=0.$$$b<c$ だから$$\begin{array}{cccc}& b^2+c^2=2a-1.& & \text{(1)}\end{array}$$また $AB\perp AC$ より$$bc+(b^2-a)(c^2-a)=0.$$$q=bc$ と置き、(1)を用いると$$q^2+q+a-a^2=0,$$すなわち$$(q-a+1)(q+a)=0.$$$q=bc\geqq 0$、$a\geqq 1$ だから$$\begin{array}{cccc}& bc=a-1.& & \text{(2)}\end{array}$$(1)、(2)から$$(b+c{)}^2=4a-3,(c-b{)}^2=1.$$条件 $0\leqq b<c$ より$$b+c=\sqrt{4a-3},c-b=1.$$したがって$$b={\displaystyle \frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}},c={\displaystyle \frac{\sqrt{4a-3}+1}{2}}$$であり、$B=(b,b^2),C=(c,c^2)$ に代入すればよい。

(2)
三角形 $ABC$ は $A$ を直角とする直角二等辺三角形である。条件式を用いると$$A{B}^2=b^2+(b^2-a{)}^2=2a-1,$$したがって$$[ABC]={\displaystyle \frac{1}{2}}AB\cdot AC=a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$弦 $BC$ の式は$$y=(b+c)x-bc$$であるから、弦と放物線の間の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_b^c\{(b+c)x-bc-x^2\}dx}& {\displaystyle ={\int }_b^c-(x-b)(x-c)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(c-b{)}^3}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$求める領域は三角形とこの弓形の和なので$$a-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$

$\overrightarrow{AB}$ を90度回転すると $\overrightarrow{AC}$ になることを成分で表し、$c-b=1$ を直接導く。面積は線分と放物線を縦の短冊で積分して検算する。

(1)
$AB=AC$、$AB\perp AC$ で、図の向きは条件 $0\leqq b<c$ により定まる。$\overrightarrow{AB}$ を反時計回りに90度回転すると $\overrightarrow{AC}$ になるから$$(c,c^2-a)=(a-b^2,b)⟺c=a-b^2,a=c^2-b\mathrm{.}$$よって $b^2+c=c^2-b$、すなわち
$(c-b)(b+c)=b+c$ である。$b+c>0$ だから
$c-b=1$ となり、さらに $a=b^2+c=b^2+b+1$ を得る。
$b^2+b+1-a=0$ を解いて$$b={\displaystyle \frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}},c=b+1={\displaystyle \frac{\sqrt{4a-3}+1}{2}}\mathrm{.}$$(2)
面積も縦の短冊で直接求める。$a=1$ のときは $b=0,c=1$ で、面積は$${\int }_0^1(1-x^2)dx={\displaystyle \frac{2}{3}}=a-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$以下 $a>1$、したがって $b>0$ とする。直線 $AB,AC$ はそれぞれ$$y=a-{\displaystyle \frac{c}{b}}x,y=a+{\displaystyle \frac{b}{c}}x\mathrm{.}$$ゆえに求める面積 $K$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle K=}& {\displaystyle {\int }_0^b\{(a+{\displaystyle \frac{b}{c}}x)-(a-{\displaystyle \frac{c}{b}}x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_b^c(a+{\displaystyle \frac{b}{c}}x-x^2)dx}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle b^2+b+{\displaystyle \frac{2}{3}}=a-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここでは $c=b+1$、$a=b^2+b+1$ を用いた。したがって
$K=a-1\mathrm{/}3$ である。
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