九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
整数点 $(x,y)=(1,0)$ を代入すると $x^{\mathrm{\prime }}=a,y^{\mathrm{\prime }}=c$ である。仮定より、整数 $x,y$ に対して $x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }}$ も整数になるので、$a,c$ は整数である。

また $(x,y)=(0,1)$ を代入すると $x^{\mathrm{\prime }}=b,y^{\mathrm{\prime }}=d$ である。したがって $b,d$ も整数である。

よって $a,b,c,d\text{ はすべて整数}$ である。

(2)
(1)より $A$ の成分はすべて整数である。さらに、逆変換についても「整数点を整数点へ移す」という同じ性質が仮定されているので、(1) と同じ議論により $A^{-1}$ の成分もすべて整数である。

ここで $\mathrm{\Delta }=ad-bc$ とおく。$A$ は逆行列をもつので $\mathrm{\Delta }\mathrm{\ne }0$ である。また$$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Delta }}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$である。 $A$ の成分が整数であるから $\mathrm{\Delta }$ は整数である。一方、$A^{-1}$ の成分も整数なので、2次正方行列の行列式を考えると $$\det (A^{-1})={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Delta }}}$$ も整数である。したがって、整数 $\mathrm{\Delta }$ とその逆数 $1\mathrm{/}\mathrm{\Delta }$ がともに整数である。

このような整数は $$\mathrm{\Delta }=1\text{または}\mathrm{\Delta }=-1$$ に限られる。よって $ad-bc=1\text{ または }-1$ である。

基本ベクトルの像と逆像が整数ベクトルなら、面積倍率は $\pm 1$

(1) は標準基底の像を見る。(2) は逆行列の成分が整数であることから、
逆行列公式に現れる各整数の割り算を利用する。最後に
$A$ と $A^{-1}$ の行列式の積が1であることから符号まで決める。

(1)
$(1,0)$ の像は $(a,c)$、$(0,1)$ の像は $(b,d)$ である。
仮定により両方とも整数点だから、$a,b,c,d$ は全て整数である。

(2)
逆変換にも同じ性質があるため、$A^{-1}$ の4成分も整数である。
$\mathrm{\Delta }=ad-bc\mathrm{\ne }0$ とおけば$$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Delta }}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\mathrm{.}$$$A$ の成分が整数なので $\mathrm{\Delta }$ は整数であり、
$A^{-1}$ の成分が整数なので$$\det (A^{-1})={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Delta }}}$$も整数である。整数とその逆数がともに整数になるのは$$\mathrm{\Delta }=1\text{または}\mathrm{\Delta }=-1$$だけである。よって $ad-bc=\pm 1$ である。