九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) 区間 $[0,x]$ 上で曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸とに挟まれた部分の面積は$${\int }_0^{x}f(t)dt$$である。一方，長方形 $OQPR$ の横の長さは $x$，縦の長さは $f(x)$ なので，その面積は $xf(x)$ である。条件より$${\int }_0^{x}f(t)dt={\displaystyle \frac{1}{n}}xf(x)$$が成り立つ。

両辺を $x$ で微分する。左辺は $f(x)$ であり，右辺は積の微分により ${\displaystyle \frac{1}{n}}\{f(x)+x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\}$ である。したがって $$f(x)={\displaystyle \frac{1}{n}}\{f(x)+x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\}$$ である。両辺に $n$ を掛けて整理すると $(n-1)f(x)=x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)$ となる。これで (1) が示された。

(2) $x>0$ で $f(x)>0$ であるから，(1) の式を $xf(x)$ で割ることができる。すると $${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}={\displaystyle \frac{n-1}{x}}$$ である。両辺を $x$ について積分すると $$\log f(x)=(n-1)\log x+C_1$$ となる。ここで $x>0$，$f(x)>0$ なので対数をそのまま扱える。

したがって，正の定数 $C$ を用いて $f(x)=C{x}^{n-1}$ と書ける。曲線が点 $(1,2)$ を通るので $2=f(1)=C\cdot 1^{n-1}=C$ である。よって $$f(x)=2x^{n-1}(x>0)$$ である。

面積を $F(x)$ と置き、$F^{\mathrm{\prime }}=f$ と面積条件を連立する。$F$ を先に求め、最後に微分して $f$ を得る。

(1) $$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$と置くと $F^{\mathrm{\prime }}=f$ である。面積条件と合わせて$$F={\displaystyle \frac{x{F}^{\mathrm{\prime }}}{n}},x{F}^{\mathrm{\prime }}=nF\mathrm{.}$$また $F=xf\mathrm{/}n$ を微分すると$$f={\displaystyle \frac{1}{n}}(f+x{f}^{\mathrm{\prime }}),(n-1)f=x{f}^{\mathrm{\prime }},$$となり、(1) を得る。

(2)
$x>0$ で $F(x)>0$ だから$${\displaystyle \frac{F^{\mathrm{\prime }}}{F}}={\displaystyle \frac{n}{x}},F=C{x}^n,f=F^{\mathrm{\prime }}=nC{x}^{n-1}\mathrm{.}$$$f(1)=2$ より $nC=2$ なので$$f(x)=2x^{n-1}(x>0)\mathrm{.}$$