九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
接点を $T(t,t^3)$ とおく。曲線 $y=x^3$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2$ であるから、接点 $T$ における接線は $y-t^3=3t^2(x-t)$ すなわち $y=3t^{2}x-2t^3$ である。この直線が点 $(0,2)$ を通るので $2=-2t^3$ となる。よって $t^3=-1,t=-1$ である。したがって接線は $l:y=3x+2$ である。

次に交点を求める。曲線と直線の交点では $x^3=3x+2$ であるから $x^3-3x-2=0$ である。左辺は $x^3-3x-2=(x-2)(x+1{)}^2$ と因数分解できるので、交点の $x$ 座標は $x=-1,x=2$ である。$x=-1$ は接点なので重なっている。

区間 $-1<x<2$ では、例えば $x=0$ で直線の値は2、曲線の値は0であるから、直線が上側、曲線が下側である。したがって求める面積は$${\int }_{-1}^2\{(3x+2)-x^3\}dx$$である。これを計算すると ${[{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+2x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4]}_{-1}^2$ となる。上端では $${\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 4+4-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 16=6$$ であり、下端では $${\displaystyle \frac{3}{2}}-2-{\displaystyle \frac{1}{4}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。よって面積は $$6-(-{\displaystyle \frac{3}{4}})={\displaystyle \frac{27}{4}}$$ である。

点 $(0,2)$ を通る直線を $y=mx+2$ と置き、3次方程式が重解をもつ条件から接点と傾きを決める。直線と曲線の差を $(2-x)(x+1{)}^2$ と因数分解して面積を計算する。

(1)
点 $(0,2)$ を通る直線を$$y=mx+2$$と置く。この直線と $y=x^3$ の交点は$$x^3-mx-2=0$$の解である。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、この方程式は $t$ を重解にもつから$$t^3-mt-2=0,3t^2-m=0$$である。後式から $m=3t^2$ であり、前式へ代入すると$$-2t^3-2=0.$$よって $t=-1$、$m=3$ であり、接線は $y=3x+2$ である。

交点の方程式は$$x^3-3x-2=(x-2)(x+1{)}^2=0$$だから、囲まれる区間は $-1\leqq x\leqq 2$ である。この区間で直線と曲線の高さの差は$$3x+2-x^3=(2-x)(x+1{)}^2$$で非負である。$u=x+1$ と置くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^2(2-x)(x+1{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^3(3-u)u^{2}du={[u^3-{\displaystyle \frac{u^4}{4}}]}_0^3={\displaystyle \frac{27}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める面積は ${\displaystyle \frac{27}{4}}$ である。