九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
与えられた式で $x=0$ とすると、積分部分は0であるから $f(0)=1$ である。

次に両辺を $x$ で微分する。左辺は $${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{(x^2+1)f(x)\}=2xf(x)+(x^2+1)f^{\mathrm{\prime }}(x)$$ である。右辺は積分の上端が $x$ なので $x^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)+{\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}}f(x)$ である。したがって $$2xf(x)+(x^2+1)f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)+{\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}}f(x)$$ となる。整理して$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=({\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}}-2x)f(x)={\displaystyle \frac{2x(1-x^2)}{x^2+1}}f(x)$$を得る。

ここで $$g(x)={\displaystyle \frac{e^{x^2}}{(x^2+1{)}^2}}f(x)$$ とおく。すると積の微分により ${\displaystyle \frac{g^{\mathrm{\prime }}(x)}{g(x)}}$ に相当する係数は ${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}+2x-{\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}}$ であり、上で得た式から0になる。割り算を避けて直接微分しても同じく $g^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ が得られる。したがって $g(x)$ は定数である。$g(0)=f(0)=1$ だから $g(x)=1$ であり、$f(x)=(x^2+1{)}^2{e}^{-x^2}$ である。

(2) $(1)$ の結果から $f(x)>0$ である。また $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(1-x^2)}{x^2+1}}f(x)$$ であり、$x^2+1>0$、$f(x)>0$ なので、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x(1-x^2)$ の符号で決まる。

符号を調べると、$x<-1$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$、$-1<x<0$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、$0<x<1$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$、$x>1$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。したがって $x=-1,x=1$ で極大値をとり、$x=0$ で極小値をとる。

値は $$f(-1)=f(1)=4e^{-1}={\displaystyle \frac{4}{e}}$$ であり、$f(0)=1$ である。よって $$\text{極大値 }{\displaystyle \frac{4}{e}}\text{ を }x=\pm 1\text{ でとる}$$ $$\text{極小値 }1\text{ を }x=0\text{ でとる}$$ である。

積分中の $t^2{f}^{\mathrm{\prime }}(t)$ を部分積分し、与式を初期値1の簡単な積分方程式に直す。候補関数の導関数が被積分関数になることから決定し、偶関数性を使って極値を調べる。

(1)
与式中の第1項を部分積分すると$${\int }_0^x{t}^2{f}^{\mathrm{\prime }}(t)dt=x^{2}f(x)-2{\int }_0^{x}tf(t)dt\mathrm{.}$$これを与式へ代入して $x^{2}f(x)$ を両辺から消すと$$f(x)=1+{\int }_0^x{\displaystyle \frac{2t(1-t^2)}{t^2+1}}f(t)dt\mathrm{.}$$ここで$$F(x)=(x^2+1{)}^2{e}^{-x^2}$$と置くと $F(0)=1$ であり、直接微分して$$F^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(1-x^2)}{x^2+1}}F(x)$$を得る。したがって微積分の基本定理により $F$ は上の積分方程式を満たす。さらに、その式の両辺を微分すれば初期値 $f(0)=1$ をもつ同じ一次関係になり、解は一意である。よって$$f(x)=(x^2+1{)}^2{e}^{-x^2}\mathrm{.}$$(2)
$f$ は偶関数なので $x\geqq 0$ を調べればよい。$z=x^2$ と置くと$$f=(z+1{)}^2{e}^{-z}\mathrm{.}$$$z\geqq 0$ について微分すると$${\displaystyle \frac{d}{dz}}\{(z+1{)}^2{e}^{-z}\}=(z+1)(1-z)e^{-z}\mathrm{.}$$したがって $0<z<1$ で増加し、$z>1$ で減少する。元の $x$ へ戻すと$$\text{極大値 }{\displaystyle \frac{4}{e}}\text{ を }x=\pm 1\text{ で取り、}\text{極小値 }1\text{ を }x=0\text{ で取る。}$$