九州大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
$x=0$ を代入すると$$f(0)={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$両辺を $x$ で微分して$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)\{f(x)-1\}$$を得る。初期値の近くでは $0<f<1$ なので変数を分離でき、$${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}}{f(f-1)}}=1.$$$${\displaystyle \frac{1}{f(f-1)}}=-{\displaystyle \frac{1}{f}}+{\displaystyle \frac{1}{f-1}}$$を用いて積分すると$$\log \mid {\displaystyle \frac{f-1}{f}}\mid =x+C\mathrm{.}$$$f(0)=1\mathrm{/}3$ より$${\displaystyle \frac{f-1}{f}}=-2e^x$$となるから$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+2e^x}}\mathrm{.}$$この関数について$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{2e^x}{(1+2e^x{)}^2}}=f(x)\{f(x)-1\}$$かつ $f(0)=1\mathrm{/}3$ である。したがって両辺を $0$ から $x$ まで積分すれば、元の積分方程式も満たすことが確認できる。

(2) $$0<f(x)<1$$なので$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)\{f(x)-1\}<0.$$よって $f$ は実数全体で単調に減少する。また$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)\{2f(x)-1\}\mathrm{.}$$$f(x)=1\mathrm{/}2$ となるのは$$x=-\log 2$$のときである。したがって$$\begin{array}{cccc}x& x<-\log 2& x=-\log 2& x>-\log 2\\ f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)& -& 0& +\end{array}$$となり、変曲点は$$(-\log 2,{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$さらに$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=1,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0.$$したがって $y=1$ と $y=0$ を水平漸近線にもつ減少曲線となる。

微分方程式を得た後、$h=1\mathrm{/}f$ と置くと $h^{\mathrm{\prime }}-h=-1$ という簡単な関係になる。解を求めた後は、$e^x$ を直接微分して1階・2階導関数の符号を調べる。

(1)
積分方程式から$$f(0)={\displaystyle \frac{1}{3}},f^{\mathrm{\prime }}=f(f-1)$$を得る。初期値を満たす解では $f\mathrm{\ne }0$ なので$$h(x)={\displaystyle \frac{1}{f(x)}}$$とおく。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}}{f^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{f(f-1)}{f^2}}=h-1.}\end{array}$$したがって$$(h-1{)}^{\mathrm{\prime }}=h-1.$$$h(0)=3$ だから$$h(x)-1=2e^x\mathrm{.}$$ゆえに$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+2e^x}}\mathrm{.}$$初期値と $f^{\mathrm{\prime }}=f(f-1)$ が成り立つため、積分によって元の式へ戻せる。

(2)
直接微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{2e^x}{(1+2e^x{)}^2}}<0$$であり、$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2e^x(2e^x-1)}{(1+2e^x{)}^3}}\mathrm{.}$$分母と $2e^x$ は正なので、符号は $2e^x-1$ で決まる。よって$$\{\begin{array}{ll}{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0& (x<-\log 2),\\ f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0& (x=-\log 2),\\ f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0& (x>-\log 2)\mathrm{.}\end{array}$$変曲点は $(-\log 2,1\mathrm{/}2)$ であり、左右の水平漸近線はそれぞれ $y=1,y=0$ である。