九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
変換の定義から $$x_{n+1}=a{x}_n+b{y}_n,y_{n+1}=b{x}_n+a{y}_n$$ である。まず $P_0=(1,1)$ の場合を考える。このとき $x_0=y_0=1$ であり、もし $x_n=y_n$ なら $$x_{n+1}=y_{n+1}=(a+b)x_n$$ となる。したがって $$x_n=(a+b{)}^n,y_n=(a+b{)}^n$$ である。

次に $P_0=(1,-1)$ の場合を考える。このとき $y_0=-x_0$ であり、もし $y_n=-x_n$ なら $$x_{n+1}=(a-b)x_n,y_{n+1}=-(a-b)x_n$$ となる。したがって $$x_n=(a-b{)}^n,y_n=-(a-b{)}^n$$ である。

(2)
一般の初期点 $P_0=(x_0,y_0)$ について $$s_n=x_n+y_n,d_n=x_n-y_n$$ とおく。すると $$s_{n+1}=x_{n+1}+y_{n+1}=(a+b)(x_n+y_n)=(a+b)s_n$$ であり、また $$d_{n+1}=x_{n+1}-y_{n+1}=(a-b)(x_n-y_n)=(a-b)d_n$$ である。したがって $$s_n=(a+b{)}^n(x_0+y_0),d_n=(a-b{)}^n(x_0-y_0)$$ となる。

最後に $$x_n={\displaystyle \frac{s_n+d_n}{2}},y_n={\displaystyle \frac{s_n-d_n}{2}}$$ を用いれば $$x_n={\displaystyle \frac{(x_0+y_0)(a+b{)}^n+(x_0-y_0)(a-b{)}^n}{2}}$$ であり、$$y_n={\displaystyle \frac{(x_0+y_0)(a+b{)}^n-(x_0-y_0)(a-b{)}^n}{2}}$$ である。

方向 $(1,1)$ と $(1,-1)$ が変換後も同じ方向に保たれることを使う。一般の初期点をこの2方向の和に分解し、それぞれの倍率を $n$ 回掛ける。

(1)
変換を $(x,y)\mapsto (ax+by,bx+ay)$ と書く。$$(1,1)\mapsto (a+b,a+b)=(a+b)(1,1)$$だから、初期点が $(1,1)$ なら$$(x_n,y_n)=((a+b{)}^n,(a+b{)}^n)\mathrm{.}$$同様に$$(1,-1)\mapsto (a-b,b-a)=(a-b)(1,-1)$$より、初期点が $(1,-1)$ なら$$(x_n,y_n)=((a-b{)}^n,-(a-b{)}^n)\mathrm{.}$$(2)
一般の初期点は$$(x_0,y_0)={\displaystyle \frac{x_0+y_0}{2}}(1,1)+{\displaystyle \frac{x_0-y_0}{2}}(1,-1)$$と一意に分解できる。変換は和と実数倍を保つので、$n$ 回後には$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x_n,y_n)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x_0+y_0}{2}}(a+b{)}^n(1,1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\displaystyle \frac{x_0-y_0}{2}}(a-b{)}^n(1,-1)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$x_n={\displaystyle \frac{(x_0+y_0)(a+b{)}^n+(x_0-y_0)(a-b{)}^n}{2}},$$$$y_n={\displaystyle \frac{(x_0+y_0)(a+b{)}^n-(x_0-y_0)(a-b{)}^n}{2}}\mathrm{.}$$