九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
点 $P(x,y)$ が変換 $f$ によって点 $Q(X,Y)$ に移るとする。行列から $X=-y,Y=x+y$ である。したがって $$X^2+XY+Y^2=(-y{)}^2+(-y)(x+y)+(x+y{)}^2$$ である。右辺を展開すると $$y^2-xy-y^2+x^2+2xy+y^2=x^2+xy+y^2$$ となる。よって $P$ が曲線 $C$ 上にあるなら $x^2+xy+y^2=k^2$ であり、同時に $X^2+XY+Y^2=k^2$ も成り立つ。したがって $Q$ も $C$ 上の点である。

(2) $$u={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}}$$ とおく。これは座標軸を45度回転する変換である。このとき $$x^2+y^2=u^2+v^2,xy={\displaystyle \frac{u^2-v^2}{2}}$$ であるから $$x^2+xy+y^2=u^2+v^2+{\displaystyle \frac{u^2-v^2}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}{u}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{v}^2$$ となる。したがって曲線 $C$ は $${\displaystyle \frac{3}{2}}{u}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{v}^2=k^2$$ すなわち $${\displaystyle \frac{u^2}{{\displaystyle \frac{2k^2}{3}}}}+{\displaystyle \frac{v^2}{2k^2}}=1$$ と書ける。これはだ円の標準形である。よって $C$ はだ円である。

(3)
第1象限では$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$とおける。すると$$x^2+xy+y^2=r^2({\cos }^2\theta +\sin \theta \cos \theta +{\sin }^2\theta )=r^2(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta )$$である。したがって境界上では $$r^2={\displaystyle \frac{k^2}{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta }}$$ である。

よって第1象限内の面積 $S$ は$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{k^2}{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta }}d\theta$$である。ここで $t=\tan \theta$ とおくと $$\sin 2\theta ={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}},d\theta ={\displaystyle \frac{dt}{1+t^2}}$$ であり、$\theta$ が $0$ から $\pi \mathrm{/}2$ まで動くとき、$t$ は $0$ から $\mathrm{\infty }$ まで動く。したがって$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{d\theta }{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dt}{t^2+t+1}}$$である。分母を平方完成すると $$t^2+t+1={(t+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。ここで$$2t+1=\sqrt{3}\tan u$$とおく。$t=0$ は $u=\pi \mathrm{/}6$ に対応し、$t\to \mathrm{\infty }$ のとき $u\to \pi \mathrm{/}2$ である。また$$dt=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{du}{{\cos }^{2}u},t^2+t+1=\frac{3}{4{\cos }^{2}u}$$だから$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dt}{t^2+t+1}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}{\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}2}du={\displaystyle \frac{2\pi }{3\sqrt{3}}}$$である。よって$$S={\displaystyle \frac{k^2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{3\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\pi k^2}{3\sqrt{3}}}$$である。

45度回転でだ円の全体面積を求める。与えられた一次変換は曲線と面積を保ち、平面を6つの部分へ巡回させるので、第1象限部分は全体の $1\mathrm{/}6$ と分かる。

(1)
$P(x,y)$ の像を $Q(X,Y)$ とすると$$X=-y,Y=x+y\mathrm{.}$$よって$$X^2+XY+Y^2=x^2+xy+y^2$$であり、$P\in C$ なら $Q\in C$ である。

(2) $$u={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}}$$という45度回転を行うと$$x^2+xy+y^2={\displaystyle \frac{3}{2}}{u}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{v}^2\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{u^2}{2k^2\mathrm{/}3}}+{\displaystyle \frac{v^2}{2k^2}}=1$$となり、$C$ はだ円である。その全体の面積は$$\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{2k^2}{3}}}\sqrt{2k^2}={\displaystyle \frac{2\pi k^2}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$(3)
与えられた一次変換の面積倍率は$$\mid 0\cdot 1-(-1)\cdot 1\mid =1$$なので面積を保つ。また正の $x$ 軸、正の $y$ 軸、直線 $y=-x$ の各半直線を順に移し、3回で各点を原点について反対側へ移す。したがって、これら6本の半直線でだ円内部は、変換で順に移り合う同面積の6部分に分かれる。第1象限部分はその一つであるから$$S={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2\pi k^2}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\pi k^2}{3\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$