九大 1988年度文系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

接線・法線の傾きから交点 $X, Y$ を求め、始点を $P$ とする差で2本のベクトルを出す。(2)では $O X$ が $x$ 軸方向、 $O Y$ が $y$ 軸方向であることから、行列の2列を別々に決める。 $p \neq 0$ と分母の正値性も確認する。

解答

(1)
曲線 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ の導関数は $y^{'} = x$ であるから、点 $P (p, \frac{1}{2} p^{2})$ における接線の傾きは $p$ である。したがって接線は $y - \frac{1}{2} p^{2} = p (x - p)$ すなわち $y = p x - \frac{1}{2} p^{2}$ である。 $x$ 軸との交点 $X$ は $y = 0$ として $0 = p x - \frac{1}{2} p^{2}$ より、 $p \neq 0$ だから $X = (\frac{p}{2}, 0)$ である。

次に法線を求める。接線の傾きが $p$ なので、法線の傾きは $- \frac{1}{p}$ である。よって法線は $y - \frac{1}{2} p^{2} = - \frac{1}{p} (x - p)$ である。 $y$ 軸との交点 $Y$ は $x = 0$ として $y - \frac{1}{2} p^{2} = 1$ より $Y = (0, \frac{1}{2} p^{2} + 1)$ である。

したがって $\vec{P X} = (\frac{p}{2} - p, 0 - \frac{1}{2} p^{2}) = (- \frac{p}{2}, - \frac{1}{2} p^{2}),$ $\vec{P Y} = (0 - p, \frac{1}{2} p^{2} + 1 - \frac{1}{2} p^{2}) = (- p, 1)$ である。

(2) $\vec{O X} = (\frac{p}{2}, 0), \vec{O Y} = (0, \frac{1}{2} p^{2} + 1)$ である。行列 $A$ の第1列を $(r, u)$ 、第2列を $(s, v)$ と書く。つまり $A$ は第1行が $(r, s)$ 、第2行が $(u, v)$ の行列である。

第1の条件 $A \vec{O X} = \vec{P X}$ から $\frac{p}{2} (r, u) = (- \frac{p}{2}, - \frac{1}{2} p^{2})$ である。 $p \neq 0$ より $r = - 1, u = - p$ を得る。

第2の条件 $A \vec{O Y} = \vec{P Y}$ から $(\frac{1}{2} p^{2} + 1) (s, v) = (- p, 1)$ である。ここで $\frac{1}{2} p^{2} + 1 = \frac{p^{2} + 2}{2} > 0$ だから割ることができ、 $s = - \frac{2 p}{p^{2} + 2}, v = \frac{2}{p^{2} + 2}$ となる。

よって求める行列 $A$ は、第1行が $(- 1, - \frac{2 p}{p^{2} + 2})$ 第2行が $(- p, \frac{2}{p^{2} + 2})$ の行列である。

別解

解法2

方針

接線と法線を方向ベクトルで媒介表示して、座標軸との交点を求める。(2)は標準基底ベクトルが $O X, O Y$ の定数倍であることを使い、その像を直接並べて行列を作る。

解答

(1)
放物線の接線方向は $(1, p)$ である。接線を $(x, y) = (p, \frac{p^{2}}{2}) + λ (1, p)$ と表し、 $y = 0$ とすると $λ = - p / 2$ だから $X = (\frac{p}{2}, 0), \vec{P X} = - \frac{p}{2} (1, p) = (- \frac{p}{2}, - \frac{p^{2}}{2}) .$ 法線方向には $(- p, 1)$ を選べる。法線を $(x, y) = (p, \frac{p^{2}}{2}) + μ (- p, 1)$ と表し、 $x = 0$ とすると $p (1 - μ) = 0$ である。 $p \neq 0$ より $μ = 1$ だから $Y = (0, \frac{p^{2}}{2} + 1), \vec{P Y} = (- p, 1) .$ (2)
標準基底を $e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1)$ とする。 $\vec{O X} = \frac{p}{2} e_{1}, \vec{O Y} = (\frac{p^{2}}{2} + 1) e_{2} .$ したがって第1条件から $A e_{1} = \frac{2}{p} \vec{P X} = (- 1, - p),$ 第2条件から $A e_{2} = \frac{2}{p^{2} + 2} \vec{P Y} = (- \frac{2 p}{p^{2} + 2}, \frac{2}{p^{2} + 2}) .$ 行列の第1列、第2列はそれぞれ $A e_{1}, A e_{2}$ なので $A = (\begin{array}{cc} - 1 & - \frac{2 p}{p^{2} + 2} \\ - p & \frac{2}{p^{2} + 2} \end{array}) .$

総評

放物線の接線・法線と行列の列ベクトルを結びつける問題である。難しい発想は不要だが、 $p \neq 0$ を使って法線の傾きを出すこと、 $X$ と $Y$ がそれぞれ座標軸上にあるため行列の列を直接決められることを見落とさない。第2列では $\frac{1}{2} p^{2} + 1$ で割るので、これが正で0にならないことも自然に確認できる。目安時間は14分で、計算ミスを防ぐには、まず交点座標、次にベクトル、最後に行列の列という順に整理するとよい。採点上は、方針の根拠、条件から決まる範囲、境界・等号条件、最終結論を別々に明記したい。 2解法を照合すると、符号や領域の向き、候補の除外を自己検算できる。

出典: 九州大学 1988年度数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

九州大学 1988年度前期日程第2次学力試験文系数学第1問