九州大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問（理系 第2問）

(1)
倍角公式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a+c}{2}}+{\displaystyle \frac{a-c}{2}}\cos 2x+b\sin 2x\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$R=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a-c}{2}}\right)}^2+b^2}$$とおくと、ある角 $\varphi$ を用いて$${\displaystyle \frac{a-c}{2}}\cos 2x+b\sin 2x=R\cos (2x-\varphi )$$と表せる。$R=0$ の場合も含め、$$\min f(x)={\displaystyle \frac{a+c}{2}}-R,\max f(x)={\displaystyle \frac{a+c}{2}}+R\mathrm{.}$$一方、方程式$$t^2-(a+c)t+ac-b^2=0$$の2根は$${\displaystyle \frac{a+c}{2}}\pm \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a-c}{2}}\right)}^2+b^2}\mathrm{.}$$$\alpha \leqq \beta$ だから$$\min f(x)=\alpha ,\max f(x)=\beta \mathrm{.}$$(2)$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+b^2& b(a+c)\\ b(a+c)& b^2+c^2\end{array}\right)$$より、$A^2=A$ は$$a^2+b^2=a,b(a+c)=b,b^2+c^2=c$$と同値である。

$b\mathrm{\ne }0$ なら $a+c=1$ であり、$$b^2=a-a^2=a(1-a)=ac\mathrm{.}$$したがって (1) の2次方程式は$$t^2-t=t(t-1)=0$$となるので、最小値は $0$、最大値は $1$ である。

$b=0$ なら $a,c$ はそれぞれ $0$ または $1$ である。よって$$\begin{array}{ccc}A& \text{最小値}& \text{最大値}\\ \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)& 0& 0\\ \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)& 1& 1\\ \text{上の2つ以外}& 0& 1\end{array}$$となる。

$u=\cos x,v=\sin x$ として単位円上の2次式と見る。2次方程式の根の関係から $f-\alpha$ と $\beta -f$ をそれぞれ完全平方にし、上下界と等号の実現を同時に示す。(2) は $A$ と $I-A$ が作るベクトルの長さを利用する。

(1) $$u=\cos x,v=\sin x$$とおけば $u^2+v^2=1$ であり、$$f(x)=a{u}^2+2buv+c{v}^2\mathrm{.}$$与えられた2次方程式を$$P(t)=(t-a)(t-c)-b^2$$と書く。$P(a)=P(c)=-b^2\leqq 0$ だから$$\alpha \leqq a,c\leqq \beta \mathrm{.}$$また $P(\alpha )=0$ より$$(a-\alpha )(c-\alpha )=b^2\mathrm{.}$$$a>\alpha$ のとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-\alpha }& {\displaystyle =(a-\alpha )u^2+2buv+(c-\alpha )v^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a-\alpha ){(u+{\displaystyle \frac{b}{a-\alpha }}v)}^2\geqq 0.}\end{array}$$$a=\alpha$ のときは $b=0$ なので、同じ結論が得られる。

同様に$$(\beta -a)(\beta -c)=b^2$$を用いると$$\beta -f(x)\geqq 0.$$各完全平方の中の一次式を0にする単位円上の点 $(u,v)$ が選べるので、等号も実現する。したがって$$\min f(x)=\alpha ,\max f(x)=\beta \mathrm{.}$$(2)$$\mathit{w}=\left(\begin{array}{c}\cos x\\ \sin x\end{array}\right)$$とおくと$$f(x)={\mathit{w}}^{\mathsf{T}}A\mathit{w}\mathrm{.}$$$A^2=A$ かつ $A$ は対称だから$$\mathrm{\mid }A\mathit{w}{\mathrm{\mid }}^2={\mathit{w}}^{\mathsf{T}}{A}^2\mathit{w}=f(x)\geqq 0.$$さらに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }(I-A)\mathit{w}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle ={\mathit{w}}^{\mathsf{T}}(I-A{)}^2\mathit{w}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\mathit{w}}^{\mathsf{T}}(I-A)\mathit{w}=1-f(x)\geqq 0.}\end{array}$$よって $0\leqq f(x)\leqq 1$ である。

$A=0$ なら常に $f=0$、$A=I$ なら常に $f=1$ である。それ以外では、$$A\mathit{z}\mathrm{\ne }\mathbf{0}$$ となる $\mathit{z}$ を選び、$A\mathit{z}$ を長さ1に直せば $$A\mathit{w}=\mathit{w}$$ となって $f=1$ を実現する。同様に $$(I-A)\mathit{z}\mathrm{\ne }\mathbf{0}$$ となる $\mathit{z}$ を選べば $$A\mathit{w}=\mathbf{0}$$ となって $f=0$ を実現する。したがって結論は解法1の表と一致する。