九州大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
直線 $y=mx$ の方向ベクトルを $\mathit{e}=(1,m)$ とする。点 $P(u,v)$ をこの直線に正射影した点を $Q(u^{\mathrm{\prime }},v^{\mathrm{\prime }})$ とすると、$\overrightarrow{OQ}$ は $\mathit{e}$ 方向のベクトルであり、$$\overrightarrow{OQ}=\frac{(u,v)\cdot (1,m)}{(1,m)\cdot (1,m)}(1,m)$$ である。したがって $$(u^{\mathrm{\prime }},v^{\mathrm{\prime }})=\frac{u+mv}{1+m^2}(1,m)$$ であり、$$u^{\mathrm{\prime }}=\frac{u+mv}{1+m^2},v^{\mathrm{\prime }}=\frac{m(u+mv)}{1+m^2}$$ となる。よって行列 $A$ は、第1行が $(\frac{1}{1+m^2},\frac{m}{1+m^2})$、第2行が $(\frac{m}{1+m^2},\frac{m^2}{1+m^2})$ の行列である。

(2)
上で得た $A$ に対し、任意の点 $(u,v)$ をまず $A$ で移すと、$$(u^{\mathrm{\prime }},v^{\mathrm{\prime }})=\frac{u+mv}{1+m^2}(1,m)$$ となり、これは直線 $y=mx$ 上の点である。この点をもう一度同じ直線に正射影しても点は変わらない。したがって任意の $(u,v)$ に対し $A^2(u,v)=A(u,v)$ である。よって $A^2=A$ が成り立つ。

式で確認してもよい。$M$ を第1行が $(1,m)$、第2行が $(m,m^2)$ の行列とすると $A=\frac{1}{1+m^2}M$ であり、直接計算で $M^2=(1+m^2)M$ となる。ゆえに $$A^2=\frac{1}{(1+m^2{)}^2}{M}^2=\frac{1}{1+m^2}M=A$$ である。

(3) $B=A+E$ である。$n=1$ のとき $B=A+E=(2^1-1)A+E$ で成り立つ。

ある自然数 $n$ で $B^n=(2^n-1)A+E$ が成り立つと仮定する。このとき、(2)の $A^2=A$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle B^{n+1}}& {\displaystyle =B^{n}B=((2^n-1)A+E)(A+E)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^n-1)(A^2+A)+A+E}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^n-1)(2A)+A+E}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^{n+1}-1)A+E\mathrm{.}}\end{array}$$よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $B^n=(2^n-1)A+E$ が成り立つ。

(4)
直線 $y=ax$ がそれ自身の上へ移されるためには、その方向ベクトル $(1,a)$ が、変換後も同じ直線の方向を向けばよい。すなわち $B(1,a)$ が $(1,a)$ と平行であればよい。

まず $$A(1,a)=\frac{1+ma}{1+m^2}(1,m)$$ だから $$B(1,a)=(1,a)+\frac{1+ma}{1+m^2}(1,m)$$ である。これを成分で書くと $$B(1,a)=(1+\frac{1+ma}{1+m^2},a+\frac{m(1+ma)}{1+m^2})$$ である。

このベクトルが $(1,a)$ と平行である条件は$$a(1+\frac{1+ma}{1+m^2})-(a+\frac{m(1+ma)}{1+m^2})=0$$である。左辺を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =\frac{a(1+ma)-m(1+ma)}{1+m^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(1+ma)(a-m)}{1+m^2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$1+ma=0\text{または}a-m=0$$ である。$m\mathrm{\ne }0$ より $a=m,a=-\frac{1}{m}$ を得る。

実際、$a=m$ の直線は射影先の直線そのものであり、$B$ によって方向は変わらない。また $a=-\frac{1}{m}$ の直線は $y=mx$ に垂直で、この方向の点は $A$ によって原点へ送られるため、$B=A+E$ ではやはり同じ直線上に残る。

任意のベクトルを直線方向 $(1,m)$ と垂直方向 $(-m,1)$ に分解する。$B=A+E$ が前者を2倍、後者をそのままにすることから、累乗公式と不変な2直線を一度に説明する。

(1) $$\mathit{e}=(1,m),\mathit{n}=(-m,1)$$と置くと、二つは垂直で長さの2乗はいずれも $1+m^2$ である。
任意の $(u,v)$ の直線方向成分は$$\frac{(u,v)\cdot \mathit{e}}{1+m^2}\mathit{e}=\frac{u+mv}{1+m^2}(1,m)\mathrm{.}$$これが正射影だから$$A=\frac{1}{1+m^2}\left(\begin{array}{cc}1& m\\ m& m^2\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
$A$ は $\mathit{e}$ 方向の成分を残し、$\mathit{n}$ 方向の成分を0にする。
一度 $A$ を作用させたベクトルは $\mathit{e}$ 方向なので、もう一度作用させても変わらない。
したがって $A^2=A$ である。

(3)
$B=A+E$ は $\mathit{e}$ を $2\mathit{e}$ に、$\mathit{n}$ を $\mathit{n}$ に移す。
よって任意のベクトルを $s\mathit{e}+t\mathit{n}$ と表すと$$B^n(s\mathit{e}+t\mathit{n})=2^{n}s\mathit{e}+t\mathit{n}\mathrm{.}$$一方、$$\{(2^n-1)A+E\}(s\mathit{e}+t\mathit{n})=(2^n-1)s\mathit{e}+s\mathit{e}+t\mathit{n}$$も同じである。任意のベクトルに対する像が一致するので$$B^n=(2^n-1)A+E\mathrm{.}$$(4)
$B$ は直交する二方向 $\mathit{e},\mathit{n}$ をそれぞれ別の倍率で移す。
両成分がともに0でない方向は作用後に成分比が変わるため、同じ直線上には残らない。
したがって不変な直線は$$\mathit{e}=(1,m)\text{方向},\mathit{n}=(-m,1)\text{方向}$$だけである。傾きはそれぞれ $m,-1\mathrm{/}m$ だから$$a=m\text{または}a=-\frac{1}{m}\mathrm{.}$$