九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
点 $P(s,t)$ は楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$ 上にあるので $${\displaystyle \frac{s^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{t^2}{b^2}}=1$$ である。したがって $$t^2=b^2(1-{\displaystyle \frac{s^2}{a^2}})$$ である。

上側の点を考えると、直線 $OP$ は $$y={\displaystyle \frac{t}{s}}x$$ であり、楕円の上側は $$y=b\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}}$$ である。領域 $D$ は$$0\leqq x\leqq s,{\displaystyle \frac{t}{s}}x\leqq y\leqq b\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}}$$で表される。下側の点の場合も、$x$ 軸まわりに回転すれば同じ体積になる。

したがって、$x$ 軸のまわりに回転してできる体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_0^s\{b^2(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})-{\displaystyle \frac{t^2}{s^2}}{x}^2\}dx$$である。積分すると $$V=\pi (b^{2}s-{\displaystyle \frac{b^2{s}^3}{3a^2}}-{\displaystyle \frac{t^{2}s}{3}})$$ となる。ここに $t^2=b^2(1-s^2\mathrm{/}{a}^2)$ を代入すると$$V=\pi (b^{2}s-{\displaystyle \frac{b^2{s}^3}{3a^2}}-{\displaystyle \frac{b^{2}s}{3}}+{\displaystyle \frac{b^2{s}^3}{3a^2}})={\displaystyle \frac{2\pi b^{2}s}{3}}$$である。

(2)
楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$ の点 $P(s,t)$ における接線は $${\displaystyle \frac{sx}{a^2}}+{\displaystyle \frac{ty}{b^2}}=1$$ である。$x$ 軸との交点 $R$ では $y=0$ だから $${\displaystyle \frac{sx}{a^2}}=1,x={\displaystyle \frac{a^2}{s}}$$ である。よって $R({\displaystyle \frac{a^2}{s}},0)$ である。

三角形 $PQR$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体は、底面の半径が $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$、高さが $${\displaystyle \frac{a^2}{s}}-s={\displaystyle \frac{a^2-s^2}{s}}$$ の円すいである。したがってその体積は ${\displaystyle \frac{1}{3}}\pi t^2({\displaystyle \frac{a^2}{s}}-s)$ である。$t^2=b^2(a^2-s^2)\mathrm{/}{a}^2$ を代入すると$${\displaystyle \frac{1}{3}}\pi \cdot {\displaystyle \frac{b^2(a^2-s^2)}{a^2}}\cdot {\displaystyle \frac{a^2-s^2}{s}}={\displaystyle \frac{\pi b^2(a^2-s^2{)}^2}{3a^{2}s}}$$である。

これが $(1)$ の体積と等しいから $${\displaystyle \frac{\pi b^2(a^2-s^2{)}^2}{3a^{2}s}}={\displaystyle \frac{2\pi b^{2}s}{3}}$$ である。正の係数を消して $${\displaystyle \frac{(a^2-s^2{)}^2}{a^{2}s}}=2s$$ を得る。ここで $$u={\displaystyle \frac{s^2}{a^2}}$$ とおくと、$0<s<a$ より $0<u<1$ であり、方程式は $(1-u{)}^2=2u$ となる。整理して $u^2-4u+1=0$ であるから $u=2\pm \sqrt{3}$ である。$0<u<1$ を満たすのは $u=2-\sqrt{3}$ だけである。したがって $$s=a\sqrt{2-\sqrt{3}}$$ である。

領域を水平に切り、回転後の円筒殻の体積を積分する。直線とだ円の境目 $y=t$ で積分を分けると、楕円条件により簡単に整理できる。

(1)
まず $t>0$ とする。高さ $y$ の水平線で領域 $D$ を切ると、$0\leqq y\leqq t$ では横幅が $sy\mathrm{/}t$、$t\leqq y\leqq b$ では横幅が$$a\sqrt{1-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}}$$である。これを $x$ 軸のまわりに回転した円筒殻で体積を求めると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{t}y\cdot {\displaystyle \frac{s}{t}}ydy+2\pi {\int }_t^{b}ya\sqrt{1-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi s{t}^2}{3}}+{\displaystyle \frac{2\pi a{b}^2}{3}}{(1-{\displaystyle \frac{t^2}{b^2}})}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$楕円上の条件から$$1-{\displaystyle \frac{t^2}{b^2}}={\displaystyle \frac{s^2}{a^2}}$$なので$$V={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}(s{t}^2+{\displaystyle \frac{b^2{s}^3}{a^2}})={\displaystyle \frac{2\pi b^{2}s}{3}}\mathrm{.}$$$t<0$ の場合は $x$ 軸について反転した同じ立体になるため、結果は同じである。

(2)
点 $P$ における接線は$${\displaystyle \frac{sx}{a^2}}+{\displaystyle \frac{ty}{b^2}}=1$$だから $R=(a^2\mathrm{/}s,0)$ である。三角形 $PQR$ の回転体は、半径 $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$、高さ $a^2\mathrm{/}s-s$ の円すいである。その体積を(1)と等しくすると$${\displaystyle \frac{\pi t^2}{3}}({\displaystyle \frac{a^2}{s}}-s)={\displaystyle \frac{2\pi b^{2}s}{3}}\mathrm{.}$$$t^2=b^2(1-s^2\mathrm{/}{a}^2)$ を代入し、$u=s^2\mathrm{/}{a}^2$ と置けば$$(1-u{)}^2=2u\mathrm{.}$$したがって $u=2\pm \sqrt{3}$ であり、$0<u<1$ より$$s=a\sqrt{2-\sqrt{3}}\mathrm{.}$$