九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$I_n={\int }_0^{\pi }{\sin }^n\theta d\theta ={\int }_0^{\pi }{\sin }^{n-1}\theta \sin \theta d\theta$$と見る。ここで部分積分を用い、$$\sin \theta d\theta =-d(\cos \theta )$$ と考えると$$I_n={[-{\sin }^{n-1}\theta \cos \theta ]}_0^{\pi }+(n-1){\int }_0^{\pi }{\sin }^{n-2}\theta {\cos }^2\theta d\theta$$である。端では $\sin \theta =0$ なので境界項は0である。したがって$$I_n=(n-1){\int }_0^{\pi }{\sin }^{n-2}\theta (1-{\sin }^2\theta )d\theta$$となる。つまり $I_n=(n-1)(I_{n-2}-I_n)$ である。よって $n{I}_n=(n-1)I_{n-2}$ となり、$$I_n={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{I}_{n-2}(n\geqq 3)$$ である。

(2) $x=\cos \theta$ とおく。$x$ が0から1まで動くとき、$\theta$ は $\pi \mathrm{/}2$ から0まで動く。また $$dx=-\sin \theta d\theta ,1-x^2={\sin }^2\theta$$ である。したがって$$J_n={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^n\theta {\sin }^n\theta d\theta$$となる。ここで $$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$ だから$$J_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n}2\theta d\theta$$である。さらに $u=2\theta$ とおくと $du=2d\theta$ であり、$u$ は0から $\pi$ まで動く。よって$$J_n={\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{n}udu={\displaystyle \frac{I_n}{2^{n+1}}}$$である。

(3) $(1)$ を用いて$$I_6={\displaystyle \frac{5}{6}}{I}_4={\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}{I}_2={\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{I}_0$$である。ここで$$I_0={\int }_0^{\pi }1d\theta =\pi$$だから $$I_6={\displaystyle \frac{5\pi }{16}}$$ である。$(2)$ より$$J_6={\displaystyle \frac{I_6}{2^7}}={\displaystyle \frac{1}{128}}\cdot {\displaystyle \frac{5\pi }{16}}={\displaystyle \frac{5\pi }{2048}}$$である。

${\sin }^{n-1}\theta \cos \theta$ の導関数を積分して漸化式を得る。$J_n$ は倍角公式で $I_n$ に直し、$I_6$ は ${\sin }^6\theta$ の倍角展開でも直接確認する。

(1) $${\displaystyle \frac{d}{d\theta }}\{{\sin }^{n-1}\theta \cos \theta \}=(n-1){\sin }^{n-2}\theta {\cos }^2\theta -{\sin }^n\theta \mathrm{.}$$これを $0$ から $\pi$ まで積分すると左辺の積分は0である。よって$$0=(n-1)(I_{n-2}-I_n)-I_n$$となり、$$I_n={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{I}_{n-2}\mathrm{.}$$(2)
$x=\cos \theta$ と置けば$$J_n={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(\sin \theta \cos \theta {)}^{n}d\theta ={\displaystyle \frac{1}{2^n}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n}2\theta d\theta \mathrm{.}$$さらに $u=2\theta$ として$$J_n={\displaystyle \frac{I_n}{2^{n+1}}}\mathrm{.}$$(3)
倍角公式を繰り返すと$${\sin }^6\theta ={\displaystyle \frac{10-15\cos 2\theta +6\cos 4\theta -\cos 6\theta }{32}}\mathrm{.}$$$0$ から $\pi$ まで積分すると余弦の各項は0になるから$$I_6={\displaystyle \frac{10\pi }{32}}={\displaystyle \frac{5\pi }{16}}\mathrm{.}$$したがって$$J_6={\displaystyle \frac{I_6}{2^7}}={\displaystyle \frac{5\pi }{2048}}\mathrm{.}$$