九州大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $0\leqq t\leqq 8$ では $v(t)=t-3$ である。したがって $0<t<3$ では $v(t)<0$ なので点 $P$ は左へ動き、$3<t\leqq 8$ では $v(t)>0$ なので右へ動く。$t\geqq 8$ では $v(t)=5e^{8-t}>0$ であり、やはり右へ動く。よって最も左にくる時刻は $t=3$ である。

その位置は、時刻 $0$ の位置が $0$ であるから $$p(3)={\int }_0^3(t-3)dt={[{\displaystyle \frac{t^2}{2}}-3t]}_0^3=-{\displaystyle \frac{9}{2}}$$ である。

(2)
まず $$p(8)={\int }_0^8(t-3)dt={[{\displaystyle \frac{t^2}{2}}-3t]}_0^8=32-24=8$$ である。時刻 $8$ 以後にさらに進む距離は $${\int }_8^{\mathrm{\infty }}5e^{8-t}dt=5{[-e^{8-t}]}_8^{\mathrm{\infty }}=5$$ である。したがって $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }p(t)=8+5=13$$ である。

速度を積分して位置 $p(t)$ を二つの区間で明示する。前半は2次関数の頂点、
後半は指数項の単調性を見れば、最左点と極限を式から直接読める。

位置は速度の積分なので$$p(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{t^2}{2}}-3t& (0\leqq t\leqq 8),\\ 8+{\displaystyle {\int }_8^{t}5e^{8-s}ds=13-5e^{8-t}}& (t\geqq 8)\mathrm{.}\end{array}$$(1)
前半は上に開く2次関数で、頂点は $t=3$ にある。その値は$$p(3)=-{\displaystyle \frac{9}{2}}\mathrm{.}$$後半は $p(t)\geqq p(8)=8$ なので、全体の最左点もこれである。

(2) $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }p(t)=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(13-5e^{8-t})=13.$$