九州大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
行列 $A$ によって点 $(x,y)$ は $(ax+by,cx+dy)$ に移る。この点が常に直線 $l:y=kx$ 上にあるので，すべての $x,y$ に対して $cx+dy=k(ax+by)$ が成り立つ。右辺を展開すると $cx+dy=kax+kby$ であり，$x$ の係数と $y$ の係数を比較して $c=ka,d=kb$ を得る。

(2)
(1) より$$B=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& ka\\ b& kb\end{array}\right)$$である。点 $(x,y)$ がこの行列 $B$ によって原点に移る条件は$$\left(\begin{array}{cc}a& ka\\ b& kb\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$である。すなわち $$a(x+ky)=0,b(x+ky)=0$$ である。仮定より $a\mathrm{\ne }0$，$b\mathrm{\ne }0$ なので $x+ky=0$ が必要十分である。

したがって，原点に移る点 $V$ の全体は直線 $x+ky=0$ 上にある。この直線は $$y=-{\displaystyle \frac{1}{k}}x$$ と書けるので，その傾きは $-1\mathrm{/}k$ である。一方，直線 $l$ の傾きは $k$ である。二つの傾きの積は $$k\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{k}})=-1$$ だから，二つの直線は直交する。よってこの直線と $l$ のつくる角は ${90}^{\circ }$ である。

1次変換で $(1,0)$ と $(0,1)$ が移る先は行列の第1列・第2列である。どちらも直線 $l$ 上にあることから係数関係を得る。(2) は交換後の行列が点 $(x,y)$ を原点へ送る条件を2本の一次式として解き、得た直線の傾きを $l$ と比較する。

(1)
$(1,0)$ と $(0,1)$ の像はそれぞれ$$(a,c),(b,d)$$である。すべての点の像が$$l:y=kx$$上にあるから、特に$$c=ka,d=kb$$である。逆にこの2式が成り立てば、任意の $(x,y)$ の像は$$(ax+by,k(ax+by))$$となるので、確かに $l$ 上にある。

(2)
(1) より$$B=\left(\begin{array}{cc}a& ka\\ b& kb\end{array}\right)\mathrm{.}$$$(x,y)$ が原点へ移る条件は$$a(x+ky)=0,b(x+ky)=0.$$$a,b\mathrm{\ne }0$ なので、これは$$x+ky=0$$と同値である。したがって点 $V$ の全体は傾き $-1\mathrm{/}k$ の直線をなし、傾き $k$ の $l$ と直交する。求める角は$${90}^{\circ }$$である。