九州大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
曲線 $C$ を $$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^2+7x+1$$ とおくと，導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=x^2-5x+7$ である。直線 $A:y=x+a$ の傾きは $1$ なので，接点の $x$ 座標は $x^2-5x+7=1$ を満たす。すなわち $x^2-5x+6=0$ であるから $x=2,x=3$ である。

接点が直線 $y=x+a$ 上にあるとき，$a=y-x$ である。$x=2$ のとき $$y={\displaystyle \frac{8}{3}}-10+14+1={\displaystyle \frac{23}{3}}$$ だから $$a={\displaystyle \frac{23}{3}}-2={\displaystyle \frac{17}{3}}$$ である。$x=3$ のとき $$y=9-{\displaystyle \frac{45}{2}}+21+1={\displaystyle \frac{17}{2}}$$ だから $$a={\displaystyle \frac{17}{2}}-3={\displaystyle \frac{11}{2}}$$ である。$${\displaystyle \frac{11}{2}}<{\displaystyle \frac{17}{3}}$$ より $$a_1={\displaystyle \frac{11}{2}},a_2={\displaystyle \frac{17}{3}}$$ である。

(2)
交点の $x$ 座標は $${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^2+7x+1=x+a$$ を満たす。整理すると $${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^2+6x+1-a=0$$ である。両辺を $3$ 倍して $$x^3-{\displaystyle \frac{15}{2}}{x}^2+18x+3(1-a)=0$$ を得る。

この三つの解を $x_1,x_2,x_3$ とすると，解と係数の関係より $$x_1+x_2+x_3={\displaystyle \frac{15}{2}},$$ $$x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=18,$$ $x_1{x}_2{x}_3=3a-3$ である。ここで$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3{)}^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)+3x_1{x}_2{x}_3$$を用いる。代入すると$$x_1^3+x_2^3+x_3^3={\left({\displaystyle \frac{15}{2}}\right)}^3-3\cdot {\displaystyle \frac{15}{2}}\cdot 18+3(3a-3)$$である。したがって $$x_1^3+x_2^3+x_3^3={\displaystyle \frac{3375}{8}}-405+9a-9=9a+{\displaystyle \frac{63}{8}}$$ を得る。よって $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=9a+{\displaystyle \frac{63}{8}}$$ である。

曲線から直線の $x$ 部分を引いた関数 $H(x)$ を考えると、接する条件は水平線 $y=a$ が $y=H(x)$ に接する条件になる。(2) は交点方程式を各根について使い、まず二乗和、次に三乗和を順に求める。三乗和の公式を一度に使わない方法である。

(1) $$H(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}+6x+1$$とおく。交点条件は $H(x)=a$ であり、接点では$$H^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2-5x+6=0.$$よって接点の横座標は $2,3$ である。$$H(2)={\displaystyle \frac{17}{3}},H(3)={\displaystyle \frac{11}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$a_1={\displaystyle \frac{11}{2}},a_2={\displaystyle \frac{17}{3}}\mathrm{.}$$(2)
交点の横座標は$$x^3-{\displaystyle \frac{15}{2}}{x}^2+18x+3(1-a)=0$$の3根である。解と係数の関係より$$\sum _{i=1}^3{x}_i={\displaystyle \frac{15}{2}},\sum _{1\leqq i<j\leqq 3}{x}_i{x}_j=18.$$したがって$$\sum _{i=1}^3{x}_i^2={\left({\displaystyle \frac{15}{2}}\right)}^2-2\cdot 18={\displaystyle \frac{81}{4}}\mathrm{.}$$各根について元の方程式を変形すると$$x_i^3={\displaystyle \frac{15}{2}}{x}_i^2-18x_i-3(1-a)\mathrm{.}$$これを $i=1,2,3$ について足せば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^3{x}_i^3}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{15}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{81}{4}}-18\cdot {\displaystyle \frac{15}{2}}-9(1-a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9a+{\displaystyle \frac{63}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$