九州大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
余弦の和積公式 $$\cos A+\cos B=2\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$$ を用いる。$A=(n+2)\theta$，$B=n\theta$ とすると $$\cos (n+2)\theta +\cos n\theta =2\cos (n+1)\theta \cos \theta$$ である。したがって $$f_{n+2}(\theta )+f_n(\theta )=2f_1(\theta )f_{n+1}(\theta )$$ が成り立つ。

(2) $f_0(\theta )=1$，$f_1(\theta )=\cos \theta$ であるから，$f_0$，$f_1$ はそれぞれ $\cos \theta$ の $0$ 次式，$1$ 次式である。

(1) より $$f_{n+2}(\theta )=2\cos \theta f_{n+1}(\theta )-f_n(\theta )$$ である。いま $f_n$ が $\cos \theta$ の $n$ 次式，$f_{n+1}$ が $\cos \theta$ の $n+1$ 次式であると仮定する。このとき $2\cos \theta f_{n+1}$ は $n+2$ 次式であり，そこから $n$ 次式 $f_n$ を引いても最高次の項は消えない。したがって $f_{n+2}$ は $\cos \theta$ の $n+2$ 次式である。

よって帰納法により，$n\geqq 1$ で $f_n(\theta )$ は $\cos \theta$ の $n$ 次式である。

(3) $-1<x<1$ に対して，ただ一つの $\theta$ が $$0<\theta <\pi ,x=\cos \theta$$ を満たす。$F_n(x)=\cos n\theta$ であるから，$x=\cos \theta$ において$$F_n^{\mathrm{\prime }}(\cos \theta )={\displaystyle \frac{d(\cos n\theta )\mathrm{/}d\theta }{d(\cos \theta )\mathrm{/}d\theta }}={\displaystyle \frac{-n\sin n\theta }{-\sin \theta }}={\displaystyle \frac{n\sin n\theta }{\sin \theta }}$$である。 $0<\theta <\pi$ では $\sin \theta >0$ なので，$F_n^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $\sin n\theta =0$ と同値である。したがって $n\theta =j\pi$ となり，範囲 $0<\theta <\pi$ から $$\theta ={\displaystyle \frac{j\pi }{n}}(j=1,2,\dots ,n-1)$$ を得る。

このとき $$x_j=\cos {\displaystyle \frac{j\pi }{n}}(j=1,2,\dots ,n-1)$$ である。$\cos \theta$ は $0<\theta <\pi$ で単調に減少するので，これらの $x_j$ はすべて相異なる。よって $-1<x<1$ の範囲で $$F_n^{\mathrm{\prime }}(x)=0\text{ は }n-1\text{ 個の相異なる解をもつ}$$ ことが示された。

漸化式で $F_n$ が $n$ 次多項式であることを確認した後、$\cos n\theta =0$ から $F_n$ の相異なる零点を $n$ 個具体的に並べる。隣り合う零点の間ごとにロルの定理を適用すると導関数の零点が少なくとも $n-1$ 個得られ、次数からそれ以上はないと分かる。

(1)
加法定理から$$\cos (n+2)\theta +\cos n\theta =2\cos \theta \cos (n+1)\theta$$であり、所要の関係式を得る。

(2) $$T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_{n+2}(x)=2x{T}_{n+1}(x)-T_n(x)$$と定める。(1) から$$\cos n\theta =T_n(\cos \theta )\mathrm{.}$$帰納法により、$T_n$ は $n\geqq 1$ で最高次係数 $2^{n-1}$ の $n$ 次式である。したがって $F_n=T_n$ である。

(3) $${\theta }_j={\displaystyle \frac{(2j-1)\pi }{2n}}(j=1,2,\dots ,n)$$とおくと$$0<{\theta }_1<\cdots <{\theta }_n<\pi$$であり、$$F_n(\cos {\theta }_j)=\cos n{\theta }_j=0.$$$\cos \theta$ は $(0,\pi )$ で狭義単調減少だから、これらは $(-1,1)$ 内の相異なる $n$ 個の零点である。

隣り合う零点の各区間にロルの定理を適用すると、$F_n^{\mathrm{\prime }}$ は少なくとも $n-1$ 個の相異なる零点をもつ。一方 $F_n^{\mathrm{\prime }}$ は $n-1$ 次式なので、零点は高々 $n-1$ 個である。よってちょうど$$n-1\text{ 個}$$である。