九州大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $f(x)$ は $x=2$ で極小値0をとるから $f(2)=0,f^{\mathrm{\prime }}(2)=0$ である。したがって $x=2$ は少なくとも重解であり，三次式 $f(x)$ は $$f(x)=(x-2{)}^2(\alpha x+\beta )$$ と書ける。

曲線は点 $(1,3)$ を通るので $f(1)=3$ である。これより $(1-2{)}^2(\alpha +\beta )=3$ すなわち $\alpha +\beta =3$ を得る。

また，点 $(1,3)$ における接線は点 $(0,8)$ を通る。したがってその傾きは $${\displaystyle \frac{3-8}{1-0}}=-5$$ であり，$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-5$ である。ここで $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-2)(\alpha x+\beta )+\alpha (x-2{)}^2$$ だから，$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-2(\alpha +\beta )+\alpha =-\alpha -2\beta$$ である。よって $-\alpha -2\beta =-5$ すなわち $\alpha +2\beta =5$ である。

連立して $$\beta =2,\alpha =1$$ を得る。したがって $$f(x)=(x-2{)}^2(x+2)=x^3-2x^2-4x+8$$ であり，$$a=1,b=-2,c=-4,d=8$$ である。

(2)
(1)より $f(x)=(x-2{)}^2(x+2)$ である。$(x-2{)}^2$ は常に0以上であり，$-2\leqq x\leqq 2$ では $x+2\geqq 0$ である。したがって，曲線と $x$ 軸で囲まれる部分は $-2\leqq x\leqq 2$ にあり，その面積は $${\int }_{-2}^2(x-2{)}^2(x+2)dx$$ である。

展開すると $$(x-2{)}^2(x+2)=x^3-2x^2-4x+8$$ だから，$${\int }_{-2}^2(x^3-2x^2-4x+8)dx$$ を計算する。奇関数部分 $x^3-4x$ の積分は対称性により0である。よって$${\int }_{-2}^2(-2x^2+8)dx={[-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+8x]}_{-2}^2={\displaystyle \frac{64}{3}}$$となる。求める面積は ${\displaystyle \frac{64}{3}}$ である。

4つの条件を係数 $a,b,c,d$ の連立一次方程式へ直接変換する。係数決定後は零点と符号を因数分解で確認し，対称区間の定積分では奇関数部分を消して面積を計算する。

(1)
条件は順に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(2)=0}& {\displaystyle :8a+4b+2c+d=0,}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(2)=0}& {\displaystyle :12a+4b+c=0,}\\ {\displaystyle f(1)=3}& {\displaystyle :a+b+c+d=3,}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(1)=-5}& {\displaystyle :3a+2b+c=-5}\end{array}$$である。最後の式の右辺は，$(1,3)$ と $(0,8)$ を通る接線の傾きが $-5$ であることによる。

第2式から第4式を引くと$$\begin{array}{cccc}& 9a+2b=5.& & \text{(1)}\end{array}$$また第2式から $c=-12a-4b$ を得て，第1式と第3式の差へ代入すると$$\begin{array}{cccc}& 5a+b=3.& & \text{(2)}\end{array}$$(1)(2)を解けば $a=1,b=-2$ であり，残りの式から$$c=-4,d=8$$となる。したがって$$f(x)=x^3-2x^2-4x+8=(x-2{)}^2(x+2)$$である。

(2)
零点は $-2,2$ であり，$2$ は重解である。区間 $[-2,2]$ では$$(x-2{)}^2(x+2)\geqq 0$$なので，求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)dx}& {\displaystyle ={\int }_{-2}^2(x^3-2x^2-4x+8)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-2}^2(-2x^2+8)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{64}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって面積は$${\displaystyle \frac{64}{3}}$$である。