九州大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

時刻 $t$ における水の深さが $f(t)$ であるから、容器内の水量は $\pi r^{2}f(t)$ である。単位時間あたりの流入量は $a$、流出量は水の深さに比例して $bf(t)$ である。したがって水量の増加速度は $a-bf(t)$ である。

よって $${\displaystyle \frac{d}{dt}}\{\pi r^{2}f(t)\}=a-bf(t)$$ であり、求める微分方程式は $\pi r^2{f}^{\mathrm{\prime }}(t)=a-bf(t)$ である。

(2)

(1) の式を $$f^{\mathrm{\prime }}(t)+{\displaystyle \frac{b}{\pi r^2}}f(t)={\displaystyle \frac{a}{\pi r^2}}$$ と書く。定数解は $f(t)=a\mathrm{/}b$ であるから $$g(t)=f(t)-{\displaystyle \frac{a}{b}}$$ とおくと $$g^{\mathrm{\prime }}(t)+{\displaystyle \frac{b}{\pi r^2}}g(t)=0$$ となる。したがって $g(t)=C{e}^{-bt\mathrm{/}(\pi r^2)}$ である。

初期条件 $f(0)=0$ より $$g(0)=-{\displaystyle \frac{a}{b}}$$ であるから $$f(t)={\displaystyle \frac{a}{b}}(1-e^{-bt\mathrm{/}(\pi r^2)})$$ である。

ここで $t\geqq 0$ では $$0\leqq 1-e^{-bt\mathrm{/}(\pi r^2)}<1$$ であり、$t$ が大きくなると $$f(t)\to {\displaystyle \frac{a}{b}}$$ である。したがって水があふれださないためには、容器の高さが ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ 以上あればよい。最小限の高さは ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ である。

平衡水深 $a\mathrm{/}b$ に対する差 $a\mathrm{/}b-f(t)$ を変数として分離形で解く。微分方程式の立式、単調性、上限と極限から必要十分な容器の高さを判定する。

(1)
水量は $\pi r^{2}f(t)$ である。したがって、流入量から流出量を引いて$$\pi r^2{f}^{\mathrm{\prime }}(t)=a-bf(t)\mathrm{.}$$(2)
平衡水深との差$$u(t)={\displaystyle \frac{a}{b}}-f(t)$$を考える。(1)から$$u^{\mathrm{\prime }}(t)=-{\displaystyle \frac{b}{\pi r^2}}u(t)\mathrm{.}$$変数分離して$${\displaystyle \frac{du}{u}}=-{\displaystyle \frac{b}{\pi r^2}}dt\mathrm{.}$$初期条件 $f(0)=0$、すなわち $u(0)=a\mathrm{/}b$ を使うと$$u(t)={\displaystyle \frac{a}{b}}\exp (-{\displaystyle \frac{bt}{\pi r^2}})\mathrm{.}$$よって$$f(t)={\displaystyle \frac{a}{b}}\{1-\exp (-{\displaystyle \frac{bt}{\pi r^2}})\}\mathrm{.}$$$f(t)$ は単調に増加し、任意の有限時刻では $a\mathrm{/}b$ 未満、極限は $a\mathrm{/}b$ である。したがって、あふれないための容器の高さ $H$ の必要十分条件は$$H\geqq {\displaystyle \frac{a}{b}}\mathrm{.}$$