九州大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

接点の $x$ 座標を $u$ とする。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3$ であるから、$x=u$ における接線は $y=(3u^2-3)(x-u)+u^3-3u$ である。整理すると $y=(3u^2-3)x-2u^3$ となる。

この直線が $(t,f(t))=(t,t^3-3t)$ を通るので $t^3-3t=(3u^2-3)t-2u^3$ である。整理すると $t^3-3u^{2}t+2u^3=0$ であり、これは $(t-u{)}^2(t+2u)=0$ と因数分解できる。

問題では $(t,f(t))$ とは他の点で接するとされているので、$u=t$ ではない。したがって $$u=-{\displaystyle \frac{t}{2}}$$ である。よって接線の傾きは $3u^2-3={\displaystyle \frac{3}{4}}{t}^2-3$ であり、切片は $-2u^3={\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^3$ である。したがって $$L:y=({\displaystyle \frac{3}{4}}{t}^2-3)x+{\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^3$$ である。

(2)

曲線と直線の差を計算すると $$f(x)-L(x)=x^3-3x-\{({\displaystyle \frac{3}{4}}{t}^2-3)x+{\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^3\}$$ であり、整理して $$f(x)-L(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}(x-t)(2x+t{)}^2$$ となる。交点は $x=t$ と $x=-t\mathrm{/}2$ であり、$x=-t\mathrm{/}2$ では接しているので重なっている。

面積は符号に注意して $$S(t)=\mid {\int }_{-t\mathrm{/}2}^t{\displaystyle \frac{1}{4}}(x-t)(2x+t{)}^{2}dx\mid$$ である。積分を実行すると $$\int {\displaystyle \frac{1}{4}}(x-t)(2x+t{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-{\displaystyle \frac{3}{8}}{t}^2{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^{3}x$$ であるから $${\int }_{-t\mathrm{/}2}^t{\displaystyle \frac{1}{4}}(x-t)(2x+t{)}^{2}dx=-{\displaystyle \frac{27}{64}}{t}^4$$ となる。したがって $$S(t)={\displaystyle \frac{27}{64}}{t}^4$$ である。

三次式と接線の差が接点を重根にもつことを利用し、係数比較だけで接点と面積の被積分関数を得る。

(1)
接点の $x$ 座標を $u$ とする。三次式 $f(x)-L(x)$ は、$x=u$ を重根にもち、さらに $x=t$ を根にもつ。最高次係数は1だから$$f(x)-L(x)=(x-u{)}^2(x-t)\mathrm{.}$$左辺には $x^2$ の項がない。右辺の $x^2$ の係数は $-(t+2u)$ なので$$t+2u=0,u=-{\displaystyle \frac{t}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$f(x)-L(x)={(x+{\displaystyle \frac{t}{2}})}^2(x-t)={\displaystyle \frac{1}{4}}(2x+t{)}^2(x-t),$$ゆえに$$L:y=({\displaystyle \frac{3}{4}}{t}^2-3)x+{\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^3\mathrm{.}$$(2)
2交点の間で差の符号は一定だから$$S(t)=\mid {\int }_{-t\mathrm{/}2}^t{\displaystyle \frac{1}{4}}(x-t)(2x+t{)}^{2}dx\mid \mathrm{.}$$$x=tu$ とおくと、向きも含めて絶対値を取ることにより$$S(t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }t{\mathrm{\mid }}^4}{4}}\mid {\int }_{-1\mathrm{/}2}^1(u-1)(2u+1{)}^{2}du\mid \mathrm{.}$$ここで$${\int }_{-1\mathrm{/}2}^1(u-1)(2u+1{)}^{2}du=-{\displaystyle \frac{27}{16}}$$だから$$S(t)={\displaystyle \frac{27}{64}}{t}^4\mathrm{.}$$