九州大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
新しい座標として $$u={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}}$$ を用いる。逆に $$x={\displaystyle \frac{u+v}{\sqrt{2}}},y={\displaystyle \frac{u-v}{\sqrt{2}}}$$ である。

点 $(x,y)$ が行列 $A$ により $(X,Y)$ に移るとする。すると $$X+Y=t(x+y),X-Y={\displaystyle \frac{1}{t}}(x-y)$$ である。つまり $u,v$ 座標で見れば $u⟼tu,v⟼{\displaystyle \frac{1}{t}}v$ という変換である。

単位円は $u^2+v^2=1$ である。移った後の点の $u,v$ 座標を改めて $u,v$ と書くと，もとの点の座標は ${\displaystyle \frac{u}{t}},tv$ であるから $${\left({\displaystyle \frac{u}{t}}\right)}^2+(tv{)}^2=1$$ となる。したがって $${\displaystyle \frac{u^2}{t^2}}+t^2{v}^2=1$$ である。もとの $x,y$ で書けば $${\displaystyle \frac{(x+y{)}^2}{2t^2}}+{\displaystyle \frac{t^2(x-y{)}^2}{2}}=1$$ である。

(2)
曲線を時計回りに ${45}^{\circ }$ 回転し，もとの $x=y$ 方向を新しい $x$ 軸に重ねると，(1)の $u$ 軸が新しい $x$ 軸，$v$ 軸が新しい $y$ 軸になる。したがって回転後の式は $${\displaystyle \frac{x^2}{t^2}}+t^2{y}^2=1$$ である。

なお，反時計回りを正として ${45}^{\circ }$ 回転する約束で書くなら，$u$ 軸は新しい $y$ 軸に重なるので，式は $$t^2{x}^2+{\displaystyle \frac{y^2}{t^2}}=1$$ となる。回転の向きが指定されていない場合は，この2つは軸の入れ替わりとして区別される。

(3)
定点 $P_0(x_0,y_0)$ について $$u_0={\displaystyle \frac{x_0+y_0}{\sqrt{2}}},v_0={\displaystyle \frac{x_0-y_0}{\sqrt{2}}}$$ とおく。移った後の点を $(X,Y)$ とし，その $u,v$ 座標を $$U={\displaystyle \frac{X+Y}{\sqrt{2}}},V={\displaystyle \frac{X-Y}{\sqrt{2}}}$$ とおく。(1)より $$U=t{u}_0,V={\displaystyle \frac{v_0}{t}}$$ である。したがって $UV=u_0{v}_0$ であり，これは $${\displaystyle \frac{(X+Y)(X-Y)}{2}}={\displaystyle \frac{(x_0+y_0)(x_0-y_0)}{2}}$$ すなわち $X^2-Y^2=x_0^2-y_0^2$ と書ける。

ただし $t>0$ なので，符号条件も必要である。$x_0+y_0\mathrm{\ne }0$，$x_0-y_0\mathrm{\ne }0$ のときは $$(X+Y)(x_0+y_0)>0,(X-Y)(x_0-y_0)>0$$ を満たす枝である。

もし $x_0+y_0=0$ なら $U=0$ なので，軌跡は直線 $X+Y=0$ 上で $(X-Y)(x_0-y_0)>0$ を満たす半直線である。もし $x_0-y_0=0$ なら $V=0$ なので，軌跡は直線 $X-Y=0$ 上で $(X+Y)(x_0+y_0)>0$ を満たす半直線である。

行列の2本の固有方向 $(1,1)$，$(1,-1)$ を直接調べ，それぞれの伸縮率が $t,1\mathrm{/}t$ であることを使う。(2)では反時計回り45度の回転公式を代入する。(3)では像の和と差の積を取って $t$ を消去し，$t>0$ に由来する枝の条件も残す。

(1) $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{t}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって，$x=y$ 方向は $t$ 倍，$x=-y$ 方向は $1\mathrm{/}t$ 倍される。像の点を $(X,Y)$ とすると$$X+Y=t(x+y),X-Y={\displaystyle \frac{1}{t}}(x-y)\mathrm{.}$$もとの単位円は$${\displaystyle \frac{(x+y{)}^2}{2}}+{\displaystyle \frac{(x-y{)}^2}{2}}=1$$だから，像 $C$ は$${\displaystyle \frac{(X+Y{)}^2}{2t^2}}+{\displaystyle \frac{t^2(X-Y{)}^2}{2}}=1$$で表される。

(2)
$C$ 上の点 $(X,Y)$ を原点のまわりに反時計回りに45度回して $(x,y)$ へ移すと$$x={\displaystyle \frac{X-Y}{\sqrt{2}}},y={\displaystyle \frac{X+Y}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$これを(1)の式へ代入して$$t^2{x}^2+{\displaystyle \frac{y^2}{t^2}}=1$$を得る。

(3)
$P_0=(x_0,y_0)$ の像を $(X,Y)$ とすると$$X+Y=t(x_0+y_0),X-Y={\displaystyle \frac{1}{t}}(x_0-y_0)\mathrm{.}$$両式を掛ければ$$X^2-Y^2=x_0^2-y_0^2\mathrm{.}$$ただし $t>0$ なので，$x_0+y_0\mathrm{\ne }0$ かつ $x_0-y_0\mathrm{\ne }0$ のときは$$(X+Y)(x_0+y_0)>0,(X-Y)(x_0-y_0)>0$$を満たす枝だけである。

$x_0+y_0=0$ のときは$$X+Y=0,(X-Y)(x_0-y_0)>0$$を満たす半直線である。$x_0-y_0=0$ のときは$$X-Y=0,(X+Y)(x_0+y_0)>0$$を満たす半直線である。以上が軌跡である。