九州大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

直線 $y=x$ 方向の座標を $$u={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}$$ とし、それに垂直な方向の座標を $$v={\displaystyle \frac{-x+y}{\sqrt{2}}}$$ とする。

最初の曲線 $C$ については、この座標で $$u=2\cos \theta ,v=\sin \theta$$ となる。したがって $${\displaystyle \frac{u^2}{4}}+v^2=1$$ である。これは直線 $y=x$ 方向に長い楕円である。

次の曲線 $C^{\mathrm{\prime }}$ については $$u=-\sin \theta ,v=2\cos \theta$$ となる。したがって $$u^2+{\displaystyle \frac{v^2}{4}}=1$$ である。これは直線 $y=x$ に垂直な方向に長い楕円である。

(2)

直線 $y=x$ は $u$ 軸である。よって共通部分をこの直線のまわりに回転すると、$u$ ごとの断面は円になる。

曲線 $C$ の内部では $v^2\leqq 1-{\displaystyle \frac{u^2}{4}}$ であり、曲線 $C^{\mathrm{\prime }}$ の内部では $v^2\leqq 4(1-u^2)$ である。共通部分では、この2つの小さい方が回転半径の2乗になる。

2つの上端が等しくなるのは $$1-{\displaystyle \frac{u^2}{4}}=4(1-u^2)$$ のときであり、整理して $u^2={\displaystyle \frac{4}{5}}$ である。$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq 2\mathrm{/}\sqrt{5}$ では $1-u^2\mathrm{/}4$ の方が小さく、$2\mathrm{/}\sqrt{5}\leqq \mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq 1$ では $4(1-u^2)$ の方が小さい。

したがって体積は$$V=\pi {\int }_{-2\mathrm{/}\sqrt{5}}^{2\mathrm{/}\sqrt{5}}(1-{\displaystyle \frac{u^2}{4}})du+2\pi {\int }_{2\mathrm{/}\sqrt{5}}^{1}4(1-u^2)du$$である。計算すると$${\int }_{-2\mathrm{/}\sqrt{5}}^{2\mathrm{/}\sqrt{5}}(1-{\displaystyle \frac{u^2}{4}})du={\displaystyle \frac{56}{15\sqrt{5}}}$$であり、$$2{\int }_{2\mathrm{/}\sqrt{5}}^{1}4(1-u^2)du={\displaystyle \frac{16}{3}}-{\displaystyle \frac{176}{15\sqrt{5}}}$$ である。よって$$V=\pi ({\displaystyle \frac{16}{3}}-{\displaystyle \frac{120}{15\sqrt{5}}})={\displaystyle \frac{8\pi (10-3\sqrt{5})}{15}}$$である。

まず $C$ が作る楕円体全体の体積を出し、$C^{\mathrm{\prime }}$ から外れる左右の部分を差し引く。

(1) $$u={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{-x+y}{\sqrt{2}}}$$とすると$$C:{\displaystyle \frac{u^2}{4}}+v^2=1,C^{\mathrm{\prime }}:u^2+{\displaystyle \frac{v^2}{4}}=1.$$すなわち、$u$ 軸方向と $v$ 軸方向に長軸をもつ2楕円である。

(2)

楕円体から不要部分を引く。

$C$ の内部を $u$ 軸のまわりに回転した楕円体の体積は$$V_C={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\cdot 2\cdot 1\cdot 1={\displaystyle \frac{8\pi }{3}}\mathrm{.}$$両楕円の半径が一致する位置を$$a={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$$とおく。$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq a$ では $C$ の方が細いので、そのまま共通部分になる。一方、$a<\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq 1$ では $C^{\mathrm{\prime }}$ の方が細く、$1<\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq 2$ では共通部分がない。

よって $C$ の楕円体から左右の不要部分を引けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V=}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{8\pi }{3}}-2\pi {\int }_a^1\{(1-{\displaystyle \frac{u^2}{4}})-4(1-u^2)\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -2\pi {\int }_1^2(1-{\displaystyle \frac{u^2}{4}})du\mathrm{.}}\end{array}$$計算すると$$V=\pi ({\displaystyle \frac{16}{3}}-{\displaystyle \frac{8}{\sqrt{5}}})={\displaystyle \frac{8\pi (10-3\sqrt{5})}{15}}\mathrm{.}$$解法1の「小さい半径を直接積分する」方法と同じ値になる。