九州大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

まず$${\displaystyle \frac{d}{dx}}(e^{-x}\sin x)=e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x=e^{-x}(\cos x-\sin x)$$である。したがって$$I-J={\int }_a^b{e}^{-x}(\sin x-\cos x)dx=-{\int }_a^b{\displaystyle \frac{d}{dx}}(e^{-x}\sin x)dx$$であるから $$I-J=e^{-a}\sin a-e^{-b}\sin b\mathrm{.}$$ また$${\displaystyle \frac{d}{dx}}(e^{-x}\cos x)=-e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x=-e^{-x}(\sin x+\cos x)$$である。よって$$I+J={\int }_a^b{e}^{-x}(\sin x+\cos x)dx=-{\int }_a^b{\displaystyle \frac{d}{dx}}(e^{-x}\cos x)dx$$となり $$I+J=e^{-a}\cos a-e^{-b}\cos b$$ を得る。

(2)

区間 $[(n-1)\pi ,n\pi ]$ では $\sin x$ の符号は一定である。したがって面積は $$A_n=\mid {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }{e}^{-x}\sin xdx\mid$$ である。

原始関数は $$\int e^{-x}\sin xdx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)$$ である。よって$${\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }{e}^{-x}\sin xdx={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n+1}}{2}}(e^{-n\pi }+e^{-(n-1)\pi })$$となる。絶対値を取れば$$A_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{-n\pi }+e^{-(n-1)\pi })={\displaystyle \frac{1+e^{\pi }}{2}}{e}^{-n\pi }\mathrm{.}$$(3)

(2) より $$A_n={\displaystyle \frac{1+e^{\pi }}{2}}{e}^{-n\pi }$$ である。したがって$$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n={\displaystyle \frac{1+e^{\pi }}{2}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-n\pi }\mathrm{.}$$ここで $0<e^{-\pi }<1$ なので $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-n\pi }={\displaystyle \frac{e^{-\pi }}{1-e^{-\pi }}}\mathrm{.}$$ よって$$S={\displaystyle \frac{1+e^{\pi }}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{-\pi }}{1-e^{-\pi }}}={\displaystyle \frac{1+e^{-\pi }}{2(1-e^{-\pi })}}\mathrm{.}$$

$e^{(-1+i)x}$ の実部・虚部を用いて $I,J$ を一度に計算する。端点が整数倍の $\pi$ の場合へ代入し、絶対値で各面積を得て等比級数を足す。

$$K={\int }_a^b{e}^{(-1+i)x}dx$$とおくと$$K=J+iI\mathrm{.}$$(1)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle K}& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{e^{(-1+i)x}}{-1+i}}\right]}_a^b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1+i}{2}}(e^{-b}(\cos b+i\sin b)-e^{-a}(\cos a+i\sin a))\mathrm{.}}\end{array}$$実部と虚部を比較して整理すると$$I-J=e^{-a}\sin a-e^{-b}\sin b,$$$$I+J=e^{-a}\cos a-e^{-b}\cos b\mathrm{.}$$(2)
$a=(n-1)\pi ,b=n\pi$ とする。端点で正弦は0なので第一式から $I=J$ である。第二式と合わせると$$2I=(-1{)}^{n-1}(e^{-(n-1)\pi }+e^{-n\pi })\mathrm{.}$$区間内で正弦の符号は一定だから$$A_n=\mid I\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{-(n-1)\pi }+e^{-n\pi })\mathrm{.}$$(3)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+e^{-\pi }}{2}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(n-1)\pi }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+e^{-\pi }}{2(1-e^{-\pi })}}\mathrm{.}}\end{array}$$