九州大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
曲線 $y=x^2$ の点 $P(t,t^2)$ における接線の傾きは $2t$ である。$t>0$ なので法線 $h$ の傾きは $-1\mathrm{/}(2t)$ であり、$y-t^2=-{\displaystyle \frac{1}{2t}}(x-t)$ である。

次に $Q(s,s^2)$ とする。線分 $PQ$ の中点は $({\displaystyle \frac{s+t}{2}},{\displaystyle \frac{s^2+t^2}{2}})$ であり、直線 $PQ$ の傾きは $${\displaystyle \frac{s^2-t^2}{s-t}}=s+t$$ である。したがって垂直二等分線 $l$ は $$y-{\displaystyle \frac{s^2+t^2}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{s+t}}(x-{\displaystyle \frac{s+t}{2}})$$ である。

この二直線を連立して交点 $R$ を求めると$$R=(-s^{2}t-2s{t}^2-t^3,{\displaystyle \frac{s^2}{2}}+st+{\displaystyle \frac{3t^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})$$である。$s\to t$ とすると $R_0(-4t^3,3t^2+{\displaystyle \frac{1}{2}})$ を得る。

(2)
円 $K$ の中心は $R_0$ で、半径は $R_{0}P$ である。放物線上の点を $(x,x^2)$ とおくと、円 $K$ 上にある条件は$$(x+4t^3{)}^2+{(x^2-3t^2-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2=(t+4t^3{)}^2+{(t^2-3t^2-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$である。右辺は点 $P$ での半径の二乗である。

この式を整理すると $(x-t{)}^3(x+3t)=0$ となる。$x=t$ は接点 $P$ に対応するので、$P$ 以外の共有点は $x=-3t$ である。したがって $P^{\mathrm{\prime }}(-3t,9t^2)$ である。

(3)
直線 $P{P}^{\mathrm{\prime }}$ の傾きは $${\displaystyle \frac{9t^2-t^2}{-3t-t}}=-2t$$ である。一方、点 $P$ における法線の傾きは $-1\mathrm{/}(2t)$ である。3点 $P,R_0,P^{\mathrm{\prime }}$ が同一直線上にあるためには $-2t=-{\displaystyle \frac{1}{2t}}$ でなければならない。$t>0$ だから $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

このとき$$R_0(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{5}{4}}),P({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}}),P^{\mathrm{\prime }}(-{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{9}{4}})$$である。円の半径は $$R_{0}P=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$$ であり、円の方程式は $${(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{5}{4}})}^2=2$$ である。

求める部分は、円の内部で放物線 $y=x^2$ の下側にある部分である。$u=x+1\mathrm{/}2$ と置くと、円に由来する面積は$$2{\int }_{-\sqrt{2}}^{-1}\sqrt{2-u^2}du+{\int }_{-1}^1\sqrt{2-u^2}du$$となる。被積分関数は偶関数なので、これは$${\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\sqrt{2-u^2}du=\pi$$であり、半径 $\sqrt{2}$ の半円の面積に等しい。また放物線側の補正は$${\int }_{-3\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}(x^2-{\displaystyle \frac{5}{4}})dx=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$$である。よって面積は$$\pi -{\displaystyle \frac{4}{3}}$$である。

(1) は $Q=P(t+h)$ と置き、中心から二点までの距離が等しい条件を $h$ の二次まで正確に比較して極限中心を得る。(2) は円と放物線の交点式を因数分解する。(3) は円由来の積分を半円の面積へまとめ、逆三角関数を使わずに求める。

(1) $$\mathit{r}(t)=(t,t^2)$$ とする。極限点 $R_0$ は点 $P$ の法線上にあるので$$R_0-\mathit{r}(t)=\lambda (-2t,1)$$と書ける。$Q=\mathit{r}(t+h)$ とし、$R_{0}P=R_{0}Q$ の極限条件を使う。$$\mathit{r}(t+h)-\mathit{r}(t)=h(1,2t)+h^2(0,1)\mathrm{.}$$距離の二乗の差$$\mathrm{\mid }{R}_0-\mathit{r}(t+h){\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }{R}_0-\mathit{r}(t){\mathrm{\mid }}^2$$を展開する。$h$ の一次項は法線条件により $0$ で、$h^2$ の係数から$$-2\lambda +(1+4t^2)=0.$$よって $\lambda =(1+4t^2)\mathrm{/}2$ であり、$$R_0=(t,t^2)+{\displaystyle \frac{1+4t^2}{2}}(-2t,1)$$だから$$R_0(-4t^3,3t^2+{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$(2)
放物線上の点 $(x,x^2)$ が円 $K$ 上にある条件を、点 $P$ に対する同じ条件から引いて整理すると$$(x-t{)}^3(x+3t)=0.$$$x=t$ は接点 $P$ であるから、もう一つの共有点は$$P^{\mathrm{\prime }}(-3t,9t^2)\mathrm{.}$$(3)
$P{P}^{\mathrm{\prime }}$ の傾きは $-2t$、法線 $P{R}_0$ の傾きは $-1\mathrm{/}(2t)$ である。同一直線条件から $t=1\mathrm{/}2$。したがって$$R_0(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{5}{4}}),P({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}}),P^{\mathrm{\prime }}(-{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{9}{4}})\mathrm{.}$$円は$${(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{5}{4}})}^2=2$$である。$u=x+1\mathrm{/}2$ と置くと、円に由来する面積は$$2{\int }_{-\sqrt{2}}^{-1}\sqrt{2-u^2}du+{\int }_{-1}^1\sqrt{2-u^2}du\mathrm{.}$$被積分関数は偶関数だから、これは$${\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\sqrt{2-u^2}du=\pi$$すなわち半径 $\sqrt{2}$ の半円の面積である。一方、放物線側の補正は$${\int }_{-3\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}(x^2-{\displaystyle \frac{5}{4}})dx=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$よって求める面積は$$\pi -{\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$