九州大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $q=e^{-T\mathrm{/}2}$ とおく。

まず $kT<t<(k+1\mathrm{/}2)T$ では $${\displaystyle \frac{dy}{dt}}+y=1$$ である。これは $y(t)=1+C{e}^{-t}$ の形であり、$t=kT$ で $y(kT)$ をとるように書けば $$y(t)=1+\{y(kT)-1\}{e}^{-(t-kT)}$$ である。したがって $$y\left((k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T\right)=1+\{y(kT)-1\}q$$ である。

次に $(k+1\mathrm{/}2)T<t<(k+1)T$ では $${\displaystyle \frac{dy}{dt}}+y=0$$ であるから $$y(t)=y\left((k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T\right)e^{-\{t-(k+1\mathrm{/}2)T\}}$$ となる。よって $$y((k+1)T)=qy\left((k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T\right)$$ である。

(2)
(1) の二つの式をつなげると $$y((k+1)T)=q[1+\{y(kT)-1\}q]$$ である。したがって $$y((k+1)T)=q^{2}y(kT)+q-q^2$$ となる。 $Y_k=y(kT)$ と書くと $Y_{k+1}=q^2{Y}_k+q-q^2$ である。$Y_0=y(0)=0$ なので、これを繰り返して $$Y_k=(q-q^2)(1+q^2+q^4+\cdots +q^{2(k-1)})$$ となる。$0<q<1$ だから $$Y_k=(q-q^2){\displaystyle \frac{1-q^{2k}}{1-q^2}}={\displaystyle \frac{q}{1+q}}(1-q^{2k})$$ である。$q=e^{-T\mathrm{/}2}$ に戻すと $$y(kT)={\displaystyle \frac{e^{-T\mathrm{/}2}}{1+e^{-T\mathrm{/}2}}}\{1-e^{-kT}\}$$ である。

(3) $T>0$ なので $0<e^{-T}<1$ であり、$k\to \mathrm{\infty }$ のとき $e^{-kT}\to 0$ である。したがって$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }y(kT)={\displaystyle \frac{e^{-T\mathrm{/}2}}{1+e^{-T\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{1}{e^{T\mathrm{/}2}+1}}$$である。

各半周期の解を積分因子でつなぎ、端点値の一次漸化式を得る。その後は漸化式の不動点を先に求め、不動点との差が等比数列になることを使って明示式と極限を同時に求める。

(1)
$q=e^{-T\mathrm{/}2}$ と置く。前半では$${\displaystyle \frac{d}{dt}}\{e^t(y-1)\}=0$$だから$$y\left((k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T\right)=1+\{y(kT)-1\}q\mathrm{.}$$後半では $${\displaystyle \frac{d}{dt}}(e^{t}y)=0$$ だから$$y((k+1)T)=qy\left((k+{\displaystyle \frac{1}{2}})T\right)\mathrm{.}$$(2)
$Y_k=y(kT)$ と書くと$$Y_{k+1}=q^2{Y}_k+q-q^2\mathrm{.}$$この漸化式の不動点 $L$ は$$L=q^{2}L+q-q^2$$より$$L={\displaystyle \frac{q}{1+q}}\mathrm{.}$$そこで $Z_k=Y_k-L$ と置けば$$Z_{k+1}=q^2{Z}_k\mathrm{.}$$$Y_0=0$ だから $Z_0=-L$ であり、$$Y_k=L(1-q^{2k})\mathrm{.}$$$q=e^{-T\mathrm{/}2}$ に戻して$$y(kT)={\displaystyle \frac{e^{-T\mathrm{/}2}}{1+e^{-T\mathrm{/}2}}}(1-e^{-kT})\mathrm{.}$$(3)
$T>0$ より $0<q<1$ なので $q^{2k}\to 0$。したがって$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }y(kT)={\displaystyle \frac{q}{1+q}}={\displaystyle \frac{1}{e^{T\mathrm{/}2}+1}}\mathrm{.}$$