九州大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$g(a)={\int }_0^{1}x\{1-\mathrm{\mid }x+a\mathrm{\mid }\}dx$$ である。$x+a$ の符号で場合分けする。

まず $a\geqq 0$ のときは、$0\leqq x\leqq 1$ で $x+a\geqq 0$ である。したがって $$g(a)={\int }_0^{1}x(1-x-a)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ である。

次に $a\leqq -1$ のときは、$0\leqq x\leqq 1$ で $x+a\leqq 0$ である。したがって $$g(a)={\int }_0^{1}x(1+x+a)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ である。

最後に $-1<a<0$ のときは、$x=-a$ で符号が変わる。よって $$g(a)={\int }_0^{-a}x(1+x+a)dx+{\int }_{-a}^{1}x(1-x-a)dx$$ である。計算すると $$g(a)={\displaystyle \frac{a^3}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$$ となる。

したがって$$g(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}& (a\leqq -1),\\ {\displaystyle \frac{a^3}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}& (-1<a<0),\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}& (a\geqq 0)\end{array}$$である。

(2) $a\geqq 0$ では $$g(a)={\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。$a\leqq -1$ では $$g(a)={\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。 $-1<a<0$ では $g^{\mathrm{\prime }}(a)=a^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがってこの範囲内の増減は、$-1<a<-1\mathrm{/}\sqrt{2}$ で増加、$-1\mathrm{/}\sqrt{2}<a<0$ で減少である。よって中央範囲での最大は $$a=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ のときである。

このとき $$g(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})={\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{6}}$$ である。これは $1\mathrm{/}3$ より大きいので、全体の最大値も ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{6}}$ である。最大にする $a$ は $$a=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。

積分値を先に展開せず、絶対値の符号から $g^{\mathrm{\prime }}(a)$ を直接求めて増減と最大を決める。

(1)

まず導関数を求める。

$a\mathrm{\ne }-x$ では$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }a}}\{1-\mathrm{\mid }x+a\mathrm{\mid }\}=-\mathrm{sgn}(x+a)\mathrm{.}$$したがって、端点では片側微分として扱えば$$g^{\mathrm{\prime }}(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}& (a<-1),\\ a^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}& (-1<a<0),\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& (a>0)\mathrm{.}\end{array}$$実際、中央の区間では$$g^{\mathrm{\prime }}(a)={\int }_0^{-a}xdx-{\int }_{-a}^{1}xdx=a^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$g(0)=1\mathrm{/}6$ を基準に積分し、$a=-1,0$ で連続につなぐと$$g(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}& (a\leqq -1),\\ {\displaystyle \frac{a^3}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}& (-1<a<0),\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}& (a\geqq 0)\mathrm{.}\end{array}$$(2)
増減は $g^{\mathrm{\prime }}(a)$ から直ちに分かる。全実数で増加から減少へ切り替わる点は$$a=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$であり$$g(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})={\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{6}}\mathrm{.}$$したがって最大にする値は$$a=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$