九州大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
まず $\alpha <0$ の場合を考える。このとき $0\leqq x\leqq \beta$ では $$x-\alpha >0,x-\beta \leqq 0,\alpha \beta <0$$ である。したがって $f(x)\geqq 0$ となるから $${\int }_0^{\beta }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx={\int }_0^{\beta }f(x)dx=F(\beta )$$ である。

次に $\alpha >0$ の場合を考える。条件 $\alpha \leqq \beta$ と $\beta >0$ より $0<\alpha \leqq \beta$ である。このとき$$f(x)\geqq 0(0\leqq x\leqq \alpha ),f(x)\leqq 0(\alpha \leqq x\leqq \beta )$$である。よって$${\int }_0^{\beta }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx={\int }_0^{\alpha }f(x)dx-{\int }_{\alpha }^{\beta }f(x)dx$$であり、$F(0)=0$ だから$${\int }_0^{\beta }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx=F(\alpha )-\{F(\beta )-F(\alpha )\}=2F(\alpha )-F(\beta )$$である。

したがって$${\int }_0^{\beta }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx=\{\begin{array}{ll}F(\beta )& (\alpha <0),\\ 2F(\alpha )-F(\beta )& (\alpha >0)\end{array}$$である。

(2) $\alpha ={\beta }^2$ とする。条件 $\alpha \leqq \beta$、$\beta >0$ より ${\beta }^2\leqq \beta$ だから $0<\beta \leqq 1$ である。この場合は $\alpha >0$ なので、(1) の後半を用いる。

ここで $$f(x)={\displaystyle \frac{3}{{\beta }^3}}(x-{\beta }^2)(x-\beta )$$ であり、展開して積分すると $$F(x)={\displaystyle \frac{x^3}{{\beta }^3}}-{\displaystyle \frac{3({\beta }^2+\beta )}{2{\beta }^3}}{x}^2+3x$$ である。したがって$$F(\beta )={\displaystyle \frac{3\beta -1}{2}},F({\beta }^2)={\displaystyle \frac{-{\beta }^3+3{\beta }^2}{2}}$$となる。よって$$I(\beta )={\int }_0^{\beta }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx=2F({\beta }^2)-F(\beta )={\displaystyle \frac{-2{\beta }^3+6{\beta }^2-3\beta +1}{2}}$$である。

これを微分すると$$I^{\mathrm{\prime }}(\beta )=-3{\beta }^2+6\beta -{\displaystyle \frac{3}{2}}=-3\{\beta -(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})\}\{\beta -(1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})\}$$である。範囲 $0<\beta \leqq 1$ に入る臨界点は $$\beta =1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ だけである。 $0<\beta <1-\sqrt{2}\mathrm{/}2$ では $I^{\mathrm{\prime }}(\beta )<0$、$1-\sqrt{2}\mathrm{/}2<\beta \leqq 1$ では $I^{\mathrm{\prime }}(\beta )>0$ であるから、この点で最小になる。よって求める値は $$\beta =1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ である。

(1) は $f$ の符号表を作って絶対値を外す。(2) は $x=\beta u$ と無次元化し、積分区間を $0\leqq u\leqq 1$ に固定する。符号が変わる $u=\beta$ で分けて直接積分し、増減を調べる。

(1)
$\alpha <0$ では $0\leqq x\leqq \beta$ の全域で $f(x)\geqq 0$ だから$${\int }_0^{\beta }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx=F(\beta )\mathrm{.}$$$\alpha >0$ では $0<\alpha \leqq \beta$ であり、$f$ は$$[0,\alpha ]\text{ で正},[\alpha ,\beta ]\text{ で負}$$となる。したがって$${\int }_0^{\beta }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx=F(\alpha )-\{F(\beta )-F(\alpha )\}=2F(\alpha )-F(\beta )\mathrm{.}$$ゆえに$${\int }_0^{\beta }\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }dx=\{\begin{array}{ll}F(\beta )& (\alpha <0),\\ 2F(\alpha )-F(\beta )& (\alpha >0)\mathrm{.}\end{array}$$(2)
$\alpha ={\beta }^2$ とすると $0<\beta \leqq 1$ である。$x=\beta u$ と置けば$$f(\beta u)dx=3(u-\beta )(u-1)du\mathrm{.}$$$0\leqq u\leqq \beta$ では積が正、$\beta \leqq u\leqq 1$ では負なので$$I(\beta )=3{\int }_0^{\beta }(u-\beta )(u-1)du-3{\int }_{\beta }^1(u-\beta )(u-1)du\mathrm{.}$$積分すると$$I(\beta )={\displaystyle \frac{-2{\beta }^3+6{\beta }^2-3\beta +1}{2}}\mathrm{.}$$よって$$I^{\mathrm{\prime }}(\beta )=-3\{\beta -(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})\}\{\beta -(1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})\}\mathrm{.}$$$0<\beta \leqq 1$ では前者の根の前で減少し、その後は増加する。したがって$$\beta =1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{.}$$