九州大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
媒介変数表示は $$x=a\cos 2\theta ,y=b\sin 3\theta$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}=-2a\sin 2\theta$$ である。 $\theta =-\pi \mathrm{/}3$ と $\theta =\pi \mathrm{/}3$ ではどちらも $x=-a\mathrm{/}2,y=0$ となり、曲線は閉じている。$-\pi \mathrm{/}3<\theta <0$ では $y<0$、$0<\theta <\pi \mathrm{/}3$ では $y>0$ で、面積は $$S=-{\int }_{-\pi \mathrm{/}3}^{\pi \mathrm{/}3}y{\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}d\theta$$ で与えられる。よって $$S=2ab{\int }_{-\pi \mathrm{/}3}^{\pi \mathrm{/}3}\sin 3\theta \sin 2\theta d\theta$$ である。

積和の公式より $$\sin 3\theta \sin 2\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos \theta -\cos 5\theta )$$ なので$${\int }_{-\pi \mathrm{/}3}^{\pi \mathrm{/}3}\sin 3\theta \sin 2\theta d\theta ={[\sin \theta -{\displaystyle \frac{1}{5}}\sin 5\theta ]}_0^{\pi \mathrm{/}3}$$である。ここで $\sin (\pi \mathrm{/}3)=\sqrt{3}\mathrm{/}2$、$\sin (5\pi \mathrm{/}3)=-\sqrt{3}\mathrm{/}2$ だから$${\int }_{-\pi \mathrm{/}3}^{\pi \mathrm{/}3}\sin 3\theta \sin 2\theta d\theta ={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{5}}$$である。したがって $$S={\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{5}}ab$$ である。

(2)
曲線上で $$F=x+y=a\cos 2\theta +b\sin 3\theta$$ である。$s=\sin \theta$ とおくと、$$-\sqrt{3}\mathrm{/}2\leqq s\leqq \sqrt{3}\mathrm{/}2$$ であり、$$\cos 2\theta =1-2s^2,\sin 3\theta =3s-4s^3$$ だから $F=a(1-2s^2)+b(3s-4s^3)$ である。

これを $s$ で微分すると $${\displaystyle \frac{dF}{ds}}=-4as+3b-12b{s}^2$$ である。臨界点は $12b{s}^2+4as-3b=0$ の解であり、$$s={\displaystyle \frac{-a\pm \sqrt{a^2+9b^2}}{6b}}$$ である。正の解を $$s_0={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+9b^2}-a}{6b}}$$ とする。 $F^{\mathrm{\prime }}(0)=3b>0$ であり、$$F^{\mathrm{\prime }}(\sqrt{3}\mathrm{/}2)=-2\sqrt{3}a-6b<0$$ なので、正の解 $s_0$ は範囲内にあり、そこで増加から減少に変わる。端点では $F=-a\mathrm{/}2$ である一方、$F(0)=a$ なので、最大点はこの正の解で与えられる。したがって $$\sin {\theta }_0={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+9b^2}-a}{6b}}$$ である。

曲線の上下対称性を使って上半分だけを積分する。(2) は $\theta$ で直接微分し、$\cos \theta >0$ を利用して $\sin \theta$ の二次方程式へ落とす。

(1)
$x(-\theta )=x(\theta )$、$y(-\theta )=-y(\theta )$ なので曲線は $x$ 軸対称である。$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}3$ では上半分を描き、$x$ は $a$ から $-a\mathrm{/}2$ へ減少する。よって$$S=2{\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}y(-{\displaystyle \frac{dx}{d\theta }})d\theta =4ab{\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}\sin 3\theta \sin 2\theta d\theta \mathrm{.}$$積和公式から$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}\sin 3\theta \sin 2\theta d\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}{[\sin \theta -{\displaystyle \frac{1}{5}}\sin 5\theta ]}_0^{\pi \mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{10}}\mathrm{.}$$したがって$$S={\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{5}}ab\mathrm{.}$$(2)$$F(\theta )=a\cos 2\theta +b\sin 3\theta$$を直接微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(\theta )=-2a\sin 2\theta +3b\cos 3\theta \mathrm{.}$$$\cos \theta >0$ であり、$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta ,\cos 3\theta =\cos \theta (1-4{\sin }^2\theta )$$だから、$s=\sin \theta$ として$$F^{\mathrm{\prime }}(\theta )=\cos \theta \{3b-4as-12b{s}^2\}\mathrm{.}$$臨界点は$$12b{s}^2+4as-3b=0$$の解である。正の解$$s_0={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+9b^2}-a}{6b}}$$で導関数は正から負へ変わり、端点の値 $-a\mathrm{/}2$ よりも $F(0)=a$ の側で大きい。したがって最大点はこの正の解であり、$$\sin {\theta }_0={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+9b^2}-a}{6b}}\mathrm{.}$$